Pappus con involuciones

[gerez_robert]

Sean $\ell$ y $\ell'$ dos rectas incidentes en $P$.
Sean $A, B$ y $C$ puntos arbitrarios en $\ell$ distintos entre si, y distintos a $P$, en el orden $A, B, C, P$. Analogamente se definen $D, E$ y $F$ en $\ell'$.
Si $X=BD∩AE, X'=CD∩AF, Y=CE∩BF$. Entonces $X, X'$ e $Y$, están alineados.
Demostración:

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Sean $Y'=XX'∩AD, Y''=XX'∩BF, Y'''=XX'∩CE,$
$Z=XX'∩AP, Z'=XX'∩DP$.

Por DIT(Desargues involution theorem), aplicado a $ABFD$:
$(X, X'), (Z, Z'), (Y', Y'')$ son pares de una involución.
Y por DIT, aplicado a $ACED$:
$(X, X'), (Z, Z'), (Y', Y''')$ son pares de una involución.
Como una involucion está completamente determinada por dos pares reciprocos, se sigue:
$Y''\equiv{Y'''}$
Y así, $Y''=XX'\cap{BF}\cap{CF}$
$\Rightarrow Y\equiv{Y''}$ $\blacksquare$

[ricarlos]

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La transversal $XY$ corta los lados del triangulo $DBF$ en $X,Y,M$, luego usamos el punto $C$ y trazamos los rayos que pasan por sus 3 vértices y que cortan a $XY$ en $K, L, N$. Sabemos(*) que $(X,K),(Y,L)$ y $(M,N)$ son pares recíprocos de una involución.
Hacemos lo mismo con el triangulo $AEC$ donde la transversal $XY$ corta a sus lados en $X,Y,N$, usando los rayos que salen del punto $F$ hacia sus 3 vertices y cortan a $XY$ en $K,L',M$ tenemos que $(X,K),(Y,L')$ y $(N,M)$ son pares recíprocos de una involución, pero.....

Como una involucion está completamente determinada por dos pares reciprocos,

entonces $L'=L$.

trazado.png

(*) http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGal ... Basic.html