IGO 2017 - Nivel Avanzado P3

[enigma1234]

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $CO$ interseca a la altura trazada por $A$ en el punto $K$. Sean $P,M$ los puntos medios de $AK,AC$, respectivamente. Si $PO$ interseca a $BC$ en $Y$, y la circunferencia circunscrita del triángulo $BCM$ corta nuevamente a $AB$ en $X$, demuestre que $BXOY$ es cíclico.

[gerez_robert]

Spoiler: mostrar

Sea $Q$ el pie de la perpendicular a $OA$ por $C$, $Z$ el punto medio de $BC$, y $D$ la intersección de $OA$ con $BC$.
Tenemos entonces que el $OQMCZ$ es un pentagono cíclico. (1)
Ahora proyectando por $O$:
$\{Y, Z; C, D\}=\{P, OZ∩AK; K, A\}$
Luego como $P$ es punto medio de $AK$ y $OZ \parallel AK$, se sigue:
$\{P, OZ∩AK; K, A\}=-1$.
Lo que implica que $Q$ pertenece a la circunferencia de Apolonio, respecto a $YZ$.
$\Rightarrow QD$ bisecta al $\angle YQZ$.
Por (1) se sigue, $\angle OBY=\angle OBC=\angle OCB=\angle OCZ=\angle OQZ=\angle OQY$.
$\Rightarrow BYOQ$ es cíclico.
Nuevamente por (1), tenemos por potencia de puntos:
$AQ.AO=AM.AC=AX.AB$.
$\Rightarrow BXQO$ es cíclico.
De donde $BXQOY$ es cíclico, en particular, $BXOY$ es cíclico. $\blacksquare$

IMG-20241103-WA0018.jpg