Notemos que $n^{10}+n^5+1=(n^2+n+1)(n^8-n^7+n^5-n^4+n^3-n+1)$. Queremos entonces que $(n^2+n+1)(n^8-n^7+n^5-n^4+n^3-n+1)=7^k$ para un $k$ natural. Como $7$ es primo se sigue que $n^2+n+1=7^j$ y $n^8-n^7+n^5-n^4+n^3-n+1=7^i$ para $i, j$ enteros no negativos cuya suma es $k$.
Consideremos la siguiente tabla de restos módulo $7$:
\begin{array}{|c|c|} \hline
n\pmod7 & n^8-n^7+n^5-n^4+n^3-n+1\\ \hline
0 & 1\\ \hline
1 & 1\\ \hline
2 & 4\\ \hline
3 & 4\\ \hline
4 & 1\\ \hline
5 & 2\\ \hline
6 & 1\\ \hline
\end{array}
Vemos que ninguno deja resto $0$ al dividir por $7$, mientras que para $i>0$, $n^8-n^7+n^5-n^4+n^3-n+1=7^i\equiv 0\pmod7$. Luego $i=0\iff 7^i=1$, con lo que $n^{10}+n^5+1=(n^2+n+1)(n^8-n^7+n^5-n^4+n^3-n+1)=n^2+n+1$. Pero si $n>1$ tenemos $n^4>1\iff n^5>n\iff n^{10}>n^2$ de modo que al sumar estas dos desigualdades resulta $n^{10}+n^5>n^2+n\iff n^{10}+n^5+1>n^2+n+1$, absurdo. Entonces $n=1$, que no es solución.
