Olimpiada de Julio 2024 - Problema 1

[BR1]

En una escuela, la maestra escribe en el pizarrón un entero positivo $n$ y luego elige a dos estudiantes. El primer estudiante anota en su cuaderno el número $n^2+90$ y el segundo estudiante anota en su cuaderno el número $\lfloor \sqrt{n^2+23} \rfloor$. Si resulta que el cociente entre el número del primer estudiante y el número del segundo estudiante es un número entero, determinar todos los posibles valores de $n$.
Nota: Aquí, $\lfloor x \rfloor$ denota al mayor entero que es menor o igual a $x$. Por ejemplo, $\lfloor \pi \rfloor = 3$ y $\lfloor 2 \rfloor = \lfloor 2,9 \rfloor = 2$.

(Propuesto por Ul7ses)

[Ulis7s]

La solución oficial sera publicada en brevedad

[drynshock]

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El truquito es darse cuenta que $\lfloor \sqrt{n^2+23} \rfloor = n$ a partir de cierto valor de $n$.

Acá mi solución

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Primero veamos que claramente $\sqrt{n^2} < \sqrt{n^2+23}$ y para cierto valor de $n$ se cumple que $\sqrt{n^2+23} < \sqrt{(n+1)^2}$ veamos cuando se da eso: $n^2+23 < n^2+2n+1 \Rightarrow 22 < 2n \Rightarrow 11 < n$. Luego, para todo $n>11$ se cumple que $\sqrt{n^2} < \sqrt{n^2+23} < \sqrt{(n+1)^2}$, o equivalentemente ya que trabajamos en los positivos $n < \sqrt{n^2+23} < n+1$. Esto implica directamente que $\lfloor \sqrt{n^2+23} \rfloor = n$ (para $n > 11$) ya que la raíz se veía contenida entre dos enteros consecutivos.

Ahora separamos en $2$ casos:

Si $n > 11$
$$\lfloor \sqrt{n^2+23} \rfloor | n^2+90 \iff n | n^2 + 90 \iff n | 90$$

Dado que $90 = 2.3^2.5$ sabemos que tiene $12$ divisores positivos, los cuales son $1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90$ de los cuales descartamos los menores a $11$ ya que los debemos analizar aparte. Entonces para este caso $n \in \{15, 18, 30, 45, 90\}$

Aunque el razonamiento sea correcto, siempre por las dudas, no viene mal probar si funcionan:
$n = 15 \Rightarrow \frac{15^2+90}{15} = 21$ funciona
$n = 18 \Rightarrow \frac{18^2+90}{18} = 23$ funciona
$n = 30 \Rightarrow \frac{30^2+90}{15} = 33$ funciona
$n = 45 \Rightarrow \frac{45^2+90}{45} = 47$ funciona
$n = 90 \Rightarrow \frac{90^2+90}{90} = 33$ funciona

Si $n \leq 11$
Dado que son pocos casos, podemos probar uno por uno a mano y ver cuales funcionan y cuales no.

$n = 1 \Rightarrow \frac{1^2+90}{\lfloor \sqrt{1^2+23} \rfloor} = \frac{1^2+90}{4} \notin \mathbb Z$
$n = 2 \Rightarrow \frac{2^2+90}{\lfloor \sqrt{2^2+23} \rfloor} = \frac{2^2+90}{5} \notin \mathbb Z$
$n = 3 \Rightarrow \frac{3^2+90}{\lfloor \sqrt{3^2+23} \rfloor} = \frac{3^2+90}{5} \notin \mathbb Z$
$n = 4 \Rightarrow \frac{4^2+90}{\lfloor \sqrt{4^2+23} \rfloor} = \frac{4^2+90}{6} \notin \mathbb Z$
$n = 5 \Rightarrow \frac{5^2+90}{\lfloor \sqrt{5^2+23} \rfloor} = \frac{5^2+90}{6} \notin \mathbb Z$
$n = 6 \Rightarrow \frac{6^2+90}{\lfloor \sqrt{6^2+23} \rfloor} = \frac{6^2+90}{7} \in \mathbb Z$
$n = 7 \Rightarrow \frac{7^2+90}{\lfloor \sqrt{7^2+23} \rfloor} = \frac{7^2+90}{8} \notin \mathbb Z$
$n = 8 \Rightarrow \frac{8^2+90}{\lfloor \sqrt{8^2+23} \rfloor} = \frac{8^2+90}{9} \notin \mathbb Z$
$n = 9 \Rightarrow \frac{9^2+90}{\lfloor \sqrt{9^2+23} \rfloor} = \frac{9^2+90}{10} \notin \mathbb Z$
$n = 10 \Rightarrow \frac{10^2+90}{\lfloor \sqrt{10^2+23} \rfloor} = \frac{10^2+90}{11} \notin \mathbb Z$
$n = 11 \Rightarrow \frac{11^2+90}{\lfloor \sqrt{11^2+23} \rfloor} = \frac{11^2+90}{12} \notin \mathbb Z$

Luego las soluciones a todo el problema son $n \in S / S = \{6, 15, 18, 30, 45, 90\}$

[MathIQ]

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Veamos para $N < 12$ si cumplen:
n=1: $\frac{91}{4}$
n=2: $\frac{94}{5}$
n=3: $\frac{99}{5}$
n=4: $\frac{106}{6}$
n=5: $\frac{115}{6}$
n=6: $\frac{126}{7}=18$
n=7:$\frac{139}{8}$
n=8: $\frac{154}{9}$
n=9: $\frac{171}{10}$
n=10:$\frac{190}{11}$
n=11:$\frac{211}{12}$
Por lo cual se cumple solo para $n=6$
Nótese que con $12 \leq n$ se cumple
$2n+1>23>0 \Rightarrow n^2+2n+1>n^2+23>n^2 \Rightarrow (n+1)^2>n^2+23>n^2 \Rightarrow n+1>\sqrt{n^2+23}>n$
Por lo cual $\forall n \geq 12$ tenemos $\lfloor \sqrt{n^2+23} \rfloor= n$.
Así que para que esta división de un número entero tenemos que necesariamente $n|n^2+90 \Rightarrow n|90$
Pero nótese que los divisores de 90 mayores que 12 son $15,18,30,45,90$, donde se puede verificar facilmente que cumplen.
Concluimos que los unicos $n$ posibles son $6,15,18,30,45,90$.