Sean $a$, $b$, $c$ tres enteros positivos no necesariamente distintos. Hallar todos los posibles valores de la suma $\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}$ donde $\frac{a+b}{c}$, $\frac{a+c}{b}$, $\frac{b+c}{a}$ son enteros positivos.
Expandiendo la suma $\frac{a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}}{abc} = S$ donde $S$ es la suma de las fracciones, por AM-GM tenemos:
$\frac{a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}}{6} \geq \sqrt[6]{a^{6}b^{6}c^{6}}$
$\frac{a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}}{abc} \geq 6$
$S \geq 6$
Me falta demostrar que $8 \geq S$
Aclaracion $S$ es entero
Última edición por Ulis7s el Mié 08 May, 2024 10:54 pm, editado 1 vez en total.
Supongamos, sin falta de generalidad, que $a \geq b \geq c$. Luego $2a \geq b + c$ y si queremos que $a$ divida a $b+c$, $a \leq b+c$. Esto implica que
$$\frac{b+c}{a}=1 \; \textrm{o} \; \frac{b+c}{a}=2$$ Primer Caso
Si sucede lo primero, $a=b+c$. Luego
$$\frac{a+c}{b}=\frac{b+2c}{b}=1+\frac{2c}{b}$$
Notamos que, para que las fracciones sean enteras, $b \leq 2c$, y ya teníamos de antes que $b \geq c$, así que
$$\frac{2c}{b}=1 \; \textrm{o} \; \frac{2c}{b}=2$$
Si sucede lo primero, $b=2c$, luego la suma buscada valdrá
$$\frac{3c+2c}{c}+\frac{3c+c}{2c}+\frac{2c+c}{3c}=8$$
Si sucede lo segundo, $b=c$, luego la suma buscada valdrá
$$\frac{2c+c}{c}+\frac{2c+c}{c}+\frac{c+c}{2c}=7$$
Segundo Caso
Si sucede lo segundo, $2a=b+c$, y como $a \geq b \geq c$, deducimos que $a=b=c$. En este caso la suma buscada valdrá
$$\frac{a+a}{a}+\frac{a+a}{a}+\frac{a+a}{a}=6$$
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