Uno conocido sobre suma de divisores

[Emily in Paris]

Sean $d_1<d_2< \dotsi < d_k$ los divisores positivos de un número $n$. Definimos $f(n,d_i) = d_i(d_1 + d_2 + \dotsi + d_{k-i})$ para $1 \leq i \leq k-1$.
Hallar todos los $n$ que satisfacen que
$$\sum_{i=1}^{k-1} f(n,d_i) = n-1$$