En el cuadrado [math]ABCD de lado [math]6, sea [math]M el punto medio del lado [math]AD y [math]N el punto medio del lado [math]AB. La diagonal [math]BD corta a [math]CN en [math]K y a [math]CM en [math]L.
Calcular el área del cuadrilátero [math]KLMN.
Solucion 1
Por Pitágoras, [math]MN=\sqrt{18}. Siguiendo con Pitágoras, [math]BD=\sqrt{72}=2\sqrt{18}. Sea [math]H el punto medio de [math]BD, por base media [math]\angle MHD = \angle MHL = 45° = \angle LDC. Sea [math]\angle HLM = \angle DLC = \alpha y [math]\angle HML = \angle DCL = \beta. Por semejanza entre [math]HLM y [math]DLC, tengo que [math]\frac{6}{3} = \frac{DL}{HL} de donde se ve que [math]LD = 2HL. Como [math]HD=\sqrt{18}, [math]HL=\sqrt{18}:3 y [math]KL=(\sqrt{18} : 3) x [math]2. Finalmente, [math](KLMN)= \sqrt{18} + [(\sqrt{18} : 3) x [math]2] x [math][\sqrt{18} : 2] : [math]2 = 7,5. ([math]\sqrt{18} : 2 es altura).
Solucion 2 (Por Nacho)
Es facil de ver que [math](MAN) = 1/4 (ABD) Luego, [math](BKN) = 1/6 (ABD) (ya que [math]BK=1/3 BD y por base media, la altura trazada desde [math]N y que corta al segmento [math]BK es la mitad de la altura de [math]BAD. Lo mismo ocurre con [math](MLD) Ahora, solo queda restar las areas y tenemos que [math](ABD) - (MAN) - (BKN) - (MLD) = (ABD) - 1/4 (ABD) - 1/3 (ABD)[math]= 5/12 (ABD) = (KLMN)
Sabiendo que $ABCD$ es un cuadrado de lado $6$ y que $M$ es el punto medio de $AD$, entonces $DM$ = $MA$ = $3$, también sabemos que $N$ es el punto medio de $AB$ por lo tanto $AN$ = $NB$ = $3$.
También sabemos que la diagonal $BD$ intersecta con $CM$ y $CN$ en $L$ y $K$ respectivamente.El cuadrilatero $MNKL$ está dentro del triangulo $ABD$,entonces para sacar $[MNKL]$ basta con restarle al área de $ABD$ el area de $MAN$, $KNB$ y $DLM$.
Sabiendo que el triángulo $ABD$ es rectángulo y que $DA$ = $AB$ = $6$ $ \Rightarrow $ $[ABD]$ = $\frac{6.6}{2}$ = $18$.Al ser el triangulo $MAN$ rectángulo con $MA$ = $AM$ = $3$ $ \Rightarrow $ $[MAN]$ = $\frac{3.3}{2}$ = $4,5$.Por lo que ahora nos queda sacar $[NBK]$ y $[MLD]$, notemos que $A\widehat{B}D$ = $45^{\circ}$, ya que $ABD$ es un triángulo rectángulo isósceles.Sabiendo que en el triángulo rectángulo $CBN$: $CB$ = $6$ y que $NB$ = $3$, entonces por Pitágoras $CN$ = $\sqrt{45}$.Sabemos por razones trigonométricas que en el triangulo $BCN$: sen $C\widehat{N}B$ = $\frac{6}{\sqrt{45}}$, despejando obtenemos que $C\widehat{N}B$ = $63,43494882^{\circ}$ $ \Rightarrow $ $N\widehat{K}B$ = $180^{\circ}$ - $45^{\circ}$ - $C\widehat{N}B$ = $71,56505118^{\circ}$.Sabiendo esto si aplicamos el Teorema del seno en el triángulo $NBK$ obtenemos que $NK$ = $2,236067977$ y que $KB$ = $2,828427125$.
Por Héron sabemos que $[NBK]$ = $\sqrt{s.(s-2,828427125).(s-2,236067977).(s-3)}$
Donde $s$ es el semiperimetro = $\frac{2,828427125 + 2,236067977 + 3}{2}$ = $4,032247551$.
Resolviendo tenemos que $[NBK]$ = $3$.Haciendo lo mismo en el triángulo $DLM$ obtenemos que $DLM$ $≅$ $NBK$, por lo tanto $[DLM]$ = $[NBK]$ = $3$.
Sabiendo esto entonces $[MNKL]$ = $18$ - $3.2$ - $4,5$ = $7,5$.