Problema 3 Regional 2004 N2

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AgustinChenna.

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Problema 3 Regional 2004 N2

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En el cuadrado [math] de lado [math], sea [math] el punto medio del lado [math] y [math] el punto medio del lado [math]. La diagonal [math] corta a [math] en [math] y a [math] en [math].
Calcular el área del cuadrilátero [math].
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AgustinChenna.

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Re: Problema 3 Regional 2004 N2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. »

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Solucion 1
Por Pitágoras, [math]. Siguiendo con Pitágoras, [math]. Sea [math] el punto medio de [math], por base media [math]. Sea [math] y [math]. Por semejanza entre [math] y [math], tengo que [math] de donde se ve que [math]. Como [math], [math] y [math] x [math]. Finalmente, [math] x [math] x [math] : [math]. ([math] es altura).

Solucion 2 (Por Nacho)

Es facil de ver que [math] Luego, [math] (ya que [math] y por base media, la altura trazada desde [math] y que corta al segmento [math] es la mitad de la altura de [math]. Lo mismo ocurre con [math] Ahora, solo queda restar las areas y tenemos que [math][math]
MathIQ

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Re: Problema 3 Regional 2004 N2

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Sabiendo que $ABCD$ es un cuadrado de lado $6$ y que $M$ es el punto medio de $AD$, entonces $DM$ = $MA$ = $3$, también sabemos que $N$ es el punto medio de $AB$ por lo tanto $AN$ = $NB$ = $3$.
También sabemos que la diagonal $BD$ intersecta con $CM$ y $CN$ en $L$ y $K$ respectivamente.El cuadrilatero $MNKL$ está dentro del triangulo $ABD$,entonces para sacar $[MNKL]$ basta con restarle al área de $ABD$ el area de $MAN$, $KNB$ y $DLM$.
Sabiendo que el triángulo $ABD$ es rectángulo y que $DA$ = $AB$ = $6$ $ \Rightarrow $ $[ABD]$ = $\frac{6.6}{2}$ = $18$.Al ser el triangulo $MAN$ rectángulo con $MA$ = $AM$ = $3$ $ \Rightarrow $ $[MAN]$ = $\frac{3.3}{2}$ = $4,5$.Por lo que ahora nos queda sacar $[NBK]$ y $[MLD]$, notemos que $A\widehat{B}D$ = $45^{\circ}$, ya que $ABD$ es un triángulo rectángulo isósceles.Sabiendo que en el triángulo rectángulo $CBN$: $CB$ = $6$ y que $NB$ = $3$, entonces por Pitágoras $CN$ = $\sqrt{45}$.Sabemos por razones trigonométricas que en el triangulo $BCN$: sen $C\widehat{N}B$ = $\frac{6}{\sqrt{45}}$, despejando obtenemos que $C\widehat{N}B$ = $63,43494882^{\circ}$ $ \Rightarrow $ $N\widehat{K}B$ = $180^{\circ}$ - $45^{\circ}$ - $C\widehat{N}B$ = $71,56505118^{\circ}$.Sabiendo esto si aplicamos el Teorema del seno en el triángulo $NBK$ obtenemos que $NK$ = $2,236067977$ y que $KB$ = $2,828427125$.
Por Héron sabemos que $[NBK]$ = $\sqrt{s.(s-2,828427125).(s-2,236067977).(s-3)}$
Donde $s$ es el semiperimetro = $\frac{2,828427125 + 2,236067977 + 3}{2}$ = $4,032247551$.
Resolviendo tenemos que $[NBK]$ = $3$.Haciendo lo mismo en el triángulo $DLM$ obtenemos que $DLM$ $≅$ $NBK$, por lo tanto $[DLM]$ = $[NBK]$ = $3$.
Sabiendo esto entonces $[MNKL]$ = $18$ - $3.2$ - $4,5$ = $7,5$.
:D
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