3er Selectivo IMO Uruguay 2018 - Problema 3

[Tob.Rod]

Halla todos los pares $p,q$ de primos para los cuales existe $a$ entero positivo tal que:
$$\frac{pq}{p+q} = \frac{a^2 +1}{a+1}$$

[Emerson Soriano]

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Si $p=q$, entonces $p=\dfrac{2a^2+2}{a+1}$. Por lo tanto,
$$a+1\mid 2a^{2}+2 \hspace{0.34cm}\Rightarrow\hspace{0.34cm} a+1\mid 2(a^{2}-1)+4 \hspace{0.34cm}\Rightarrow\hspace{0.34cm} a+1\mid 4.$$
De lo último, tenemos que $a=1$ o $a=3$. Si $a=1$, entonces $p=q=2$. Si $a=3$, entonces $p=q=5$.

Si $p\neq q$, entonces $pq$ y $p+q$ son coprimos. Luego, como $p+q\mid pq(a+1)$, entonces $p+q\mid a+1$ y por lo tanto $p+q\leq a+1$.

Sabemos que
$$\frac{pq}{p+q}\geq \frac{a^2+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2}\geq \frac{p+q}{2} \hspace{0.52cm}\Rightarrow\hspace{0.52cm} 2q\geq (p+q)^2>2pq,$$
lo cual es absurdo.

Concluimos que solamente satisfacen las parejas de primos $(p, q)=(2, 2)$ y $(p, q)=(5, 5)$.