1er Selectivo IMO Uruguay 2018 - Problema 2

[Tob.Rod]

Sean $a$ y $b$ enteros distintos tales que $2 \le a \le 100$ y $2 \le b \le 100$.
Demuestra que el numero $a ^ {2^n} + b^{2^n}$ no es primo para algún entero positivo $n$.

[Emerson Soriano]

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Si $a$ y $b$ tienen la misma paridad, entonces $a^2+b^2$ es un número par mayor que $2$ y por lo tanto es compuesto.

Ahora, supongamos que $a$ y $b$ tienen diferente paridad. Si $a^2+b^2$ no es primo, no hay nada más por hacer. Si $a^2+b^2=p$ es primo, entonces claramente $a$ y $b$ son coprimos con $p$. Luego, tomando $n=p+1$ y usando el pequeño teorema de Fermat, tenemos que
$$a^{p+1}+b^{p+1}\equiv a^{p-1}\cdot a^2+b^{p-1}\cdot b^2\equiv a^2+b^2\equiv a^2+b^2\equiv 0\pmod p.$$
Por lo tanto, $a^{p+1}+b^{p+1}$ es un múltiplo de $p$ que claramente es mayor que $p$, así que este número es compuesto.