Sea $h$ un entero positivo. La sucesión $a_n$ está definida por $a_0 = 1$ y$$a_{n+1}=\left \{\begin{matrix}\frac{a_n}{2} & \text{si }a_n\text{ es par,} \\ a_n+ h & \text{en otro caso.}\end{matrix}\right .$$Encontrar todo entero positivo $h$ para el cual existe $n>0$ con $a_n=1$.
Si $h$ es par, entonces la secuencia sería una progresión aritmética infinita estrictamente creciente, por lo cual el $1$ nunca volvería a aparecer como término de la secuencia. Por lo tanto, $h$ es impar.
Si $h=1$, entonces $a_1=2$ y $a_2=1$.
A partir de ahora, asumiremos que $h$ es un número impar mayor que $1$.
Observemos que para todo entero positivo $n$, tenemos que
$$a_n\equiv a_{n+1}\pmod h \hspace{0.7cm}\text{o}\hspace{0.7cm} a_n\equiv 2a_{n+1}\pmod h.$$
Estas congruencias nos indican que si algún término de la secuencia es múltiplo de $h$, entonces todos los términos de la secuencia son múltiplos de $h$, luego, como $1$ no es múltiplo de $h$, entonces ningún término de la secuencia es múltiplo de $h$.
Demostraremos que todos los términos que son números impares son menores que $h$. Notemos que $a_0=1<h$. Si para algún $n\geq 0$, el número $a_n$ es un impar menor que $h$, demostraremos que el próximo término impar también es menor que $h$. En efecto, sabemos que $a_{n+1}=a_n+h$, el cual es par. Luego, el próximo término impar resulta de dividir el número $a_n+h$ entre $2$, tantas veces hasta que quede un número impar, el cual es evidente que es menor que $h$, pues $\dfrac{a_n+h}{2}<h$.
Gracias al párrafo anterior podemos deducir que todos los términos que son números pares son menores que $2h$. Esto significa que todos los términos de la secuencia están en el intervalo $\left [ 1, 2h-1 \right ]$, luego, como la secuencia tiene infinitos términos, entonces en la secuencia hay al menos un número que aparecen más de una vez.
Sea $m$ el menor índice de tal manera que $a_m$ aparece más de una vez en la secuencia, entonces existe un entero positivo $n>m$ tal que $a_m=a_n=k$. Si $k$ es impar, entonces $a_{m-1}=a_{n-1}=2k$, contradiciendo la minimalidad de $m$. Por lo tanto, $m$ es par. Observemos que $a_{m-1}$, $a_{n-1}\in \left\{ 2k, k-h \right\}$, luego, como $m$ es mínimo, entonces $a_{m-1}$ y $a_{n-1}$ tienen que ser los números $2k$ y $k-h$ en algún orden, lo que significa que $k>h$, pero como el otro término es $2k$ y $2k>2h$, entonces la secuencia tendría algún término mayor que $2h$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, $m=1$.
Concluimos que $h$ puede tomar cualquier valor impar positivo.
