Manipulando la igualdad dada:
$$\begin{align*}
a^3(b^2-p)&=a^3+b^2-1 \\
a^3b^2-a^3p&=a^3+b^2-1 \\
a^3b^2-a^3-b^2+1&=a^3p \\
(a^3-1)(b^2-1)&=a^3p \\
\end{align*}$$
El lado derecho es positivo, así que $a^3-1>0$. Notemos entonces que $a^3$ y $a^3-1$ son coprimos y $a^3-1$ no es $1$ (porque implicaría que $a^3=2$ sea un cubo perfecto) por lo que el único primo que puede dividir a $a^3-1$ es $p$, es decir $a^3=p+1$. A su vez esto implica $b^2-1=a^3$ y entonces $b^2=p+2$.
Factorizando, $p=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Es claro que el primer factor es menor al segundo y mayor o igual a $0$, de donde deducimos que $a-1=1$ y $a^2+a+1=p$, que nos deja $a=2$, $p=7$ y $b^2=9\iff b=3$.
Se verifica que $8(9-7)=16=8+9-1$, la terna $(2,3,7)$ es la única que cumple. $\bigstar$
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
Factorizando se llega a que $(a³-1)(b²-1) = a³p$. Notemos que $a³-1≡ -1 (mod a)$ luego, $a³ | b²-1$. También veamos que $p$ divide exclusivamente a $a³-1$, ya que en caso contrario $a³-1 =1$ lo cual nos deja sin soluciones. Entonces sabemos que $p = a³ -1$, por diferencia de cubos $p = (a-1)(a²+a+1) \Rightarrow a-1=1 \Rightarrow a =2 ,p = 7$ y reemplazando esto en la ecuacion orginal llegamos a que $b = \pm 3$, como solamente consideramos los positivos, la única terna que cumple es $a, b, p = \{(2, 3, 7 \}$
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