Notemos que si $p, q > 2$ luego $p^3 + 3q^3 - 32$ es par, como el único primo par es 2 podemos intentar resolver la ecuación:
$p^3 + 3q^3 - 32 = 2 \Rightarrow p^3 + 3q^3 = 34$ Notemos que el menor valor que pueden tomar $p$ y $q$ es 3, por lo tanto:
$3^3 + 3.(3)^3 = 108 > 34$ por lo tanto no hay soluciones para $p, q > 2$. Concluimos que $p = 2 \vee q = 2$.
Caso $p = 2$
$(2)^3 + 3q^3 - 32 = $ primo
$3(q^3 - 8) =$ primo
Como los únicos factores de un primo $m$ son $1$ y $m$, entonces:
$q^3 - 8 = 1$
$q^3 = 9$
Ecuación la cual no tiene soluciones enteras. Por lo tanto $p \neq 2$
Caso $q = 2$
$p^3 + 3(2)^3 - 32 = $ primo
$p^3 - 8 =$ primo
Por diferencia de cubos:
$(p-2)(p^2+2p+4) =$ primo
$(p-2) = 1 \land p^2 + 2p + 4 =$ primo.
Como $p-2 < p^2 + 2p + 4$ entonces $p-2 = 1 \Rightarrow p = 3$
Checkeando la solución:
$(3)^3 + 3(2)^3 - 32 = 19$
Así que $(p, q) = (3, 2)$ es la única pareja que cumple.
