Intercolegial 2005 Nivel 3 Problema 1

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drynshock

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Intercolegial 2005 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por drynshock »

Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba $5$ símbolos para representar los números: $\theta ,\Delta ,\blacksquare ,\divideontimes ,\dagger$. Estos símbolos corresponden en algún orden a los dígitos $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$. De este modo, cuando escriben $\Delta \blacksquare \dagger$ representan un número en base $5$:$$\Delta \blacksquare \dagger =\Delta \cdot 5^2+\blacksquare \cdot 5^1+\dagger .$$El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de menor a mayor:$$\divideontimes \dagger \Delta \blacksquare ,\quad \divideontimes \dagger \Delta \theta \quad \text{y}\quad \divideontimes \dagger \divideontimes \dagger .$$Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos.
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"Alexandra Trusova"
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agleidhold
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Re: Intercolegial 2005 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por agleidhold »

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Aunque sea incorrecto, voy a usar los términos "decenas", "centenas", ya que desconozco la existencia de algún término que represente esto para la base $5$.
Notemos que $\theta$ tiene que ser el $4$, ya que en el número consecutivo a $⋇†Δθ$ se cambia el dígito de las decenas. En base a esto, sabemos que $\blacksquare$ tiene que ser el $3$ y $†$ tiene que ser el $0$. Y, como entre el segundo y tercer número las centenas se mantienen igual, resulta $⋇>\Delta$, y como uno es $1$ y el otro es $2$, $⋇$ es $2$ y $\Delta$ es $1$. Entonces
$$†=0, \Delta=1, ⋇=2, \blacksquare=3, \theta=4$$
Y los números son
$$2013,2014,2020$$
Ahora que lo pienso
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los números los escribí en base $5$, en base $10$ son $258, 259, 260$
$\large{e^{i\pi}+1=0}$
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