Intercolegial 1998 Nivel 3 Problema 3

[drynshock]

Sean $x,y$ números reales tales que $x+y=26$, $x^3+y^3=5408$. Hallar $x^2+y^2$.

[drynshock]

A pedido del público.

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Lo importante es ver que nos piden $x^2+y^2$, no $x$ tampoco $y$. Entonces, no intentemos despejar y hallar los valores de $x, y$, vayamos directo al grano a buscar $x^2+y^2$.

Otro dato, no tan conocido en un intercolegial, es que $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

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$$x+y = 26 \Rightarrow x^2+2xy+y^2 = 26^2 \Rightarrow xy = \frac{26^2-x^2-y^2}{2}$$

$$x^3+y^3 = 5408 \Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2) = 5408 \Rightarrow 26(x^2-\frac{26^2-x^2-y^2}{2}+y^2) = 5408$$

$$\Rightarrow 2x^2-26^2+x^2+y^2+2y^2 = 416 \Rightarrow \boxed{x^2+y^2 = 364}$$