Se escriben en sucesión los números naturales, formando una secuencia de dígitos$$12345678910111213141516171819202122232425262728293031\ldots$$Determinar cuántas cifras tiene el número natural que contribuye a esta secuencia con el dígito de la posición $10^{2000}$.
Aclaracion: El número natural que contribuye a la secuencia con el dígito de la posición $10$ tiene $2$ cifras, porque es el $10$; el número natural que contribuye a la secuencia con el dígito de la posición $10^2$ tiene $2$ cifras, porque es el $55$.
Hay $9$ números de $1$ dígito. O sea que las primeras $9$ posiciones corresponden a números de un dígito.
Hay $90$ números de $2$ dígitos. O sea que los dígitos en las posiciones $10$ a $189=9+2\cdot 90$ corresponden a números de $2$ dígitos.
Hay $900$ números de $3$ dígitos. O sea que los dígitos en las posiciones $190$ a $189+3\cdot 900$ corresponden a números de $3$ dígitos.
Ahora tratemos de escribir esto para un número de $n$ dígitos (obviamente no vamos a poder hacer la cuenta a mano hasta $10^{2000}$).
La cantidad de números de $n$ dígitos, es $9\cdot 10^{n-1}$ (para el primer dígito hay $9$ opciones, para los demás hay $10$).
Las posiciones que corresponden a números de $n$ dígitos son las que van entre $$l(n)=9 + 2\cdot 90 + 3 \cdot 900 + \ldots + (n-1) \cdot 9 \cdot 10^{n-2} + 1$$ y $$r(n)=9 + 2\cdot 90 + 3 \cdot 900 + \ldots + (n-1) \cdot 9 \cdot 10^{n-2} + n \cdot 9 \cdot 10^{n-1}$$
Ejemplo: $l(1)=1$, $r(1)=9$, $l(2)=10$, $r(2)=189$, $l(3)=190$, etc.
Entonces queremos encontrar el mínimo $n$ tal que $$10^{2000}\leq r(n)=\sum_{i=1}^{n}i\cdot 9 \cdot 10^{i-1}$$
(la notación $\sum$ significa que estamos sumando eso para cada valor de $i$ entre $1$ y $n$, lo escribo así para no poner los primeros y los últimos términos con puntos suspensivos en el medio.)
Resulta que el $n$ que buscamos es $1997$. Lo más razonable que se me ocurre para conjeturar que da eso es mirar solamente el término más grande de la suma, que es $9\cdot n \cdot 10^{n-1}$ y notar que para $n=1996$ este término es mas chico que $10^{2000}$ pero que para $n=1997$ ocurre lo contrario.
Esto muestra que $10^{2000}<1997\cdot 9 \cdot 10^{1997-1}<r(1997)$. Lo único que falta probar es que $r(1996)<10^{2000}$.
Queremos probar que $\sum_{i=1}^{1996}i\cdot 9 \cdot 10^{i-1}<10^{2000}$. Pero notemos que $$\sum_{i=1}^{1996}i\cdot 9 \cdot 10^{i-1}<\sum_{i=1}^{1996}10^4 \cdot 9 \cdot 10^{i-1}=\sum_{i=4}^{1999}9 \cdot 10^{i}<10^{2000}$$ Esto muestra que el número que contribuye a la posición $10^{2000}$ tiene $1997$ dígitos.
Si no se entiende algo preguntá
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Habíamos dicho que lo que buscamos es el menor natural $n$ tal que $r(n)\geq 10^{2000}$.
La idea es probar que $$r(n)=n\cdot 10^n -\frac{10^n-1}{9}$$
Esto se puede probar por inducción. Notemos que $r(1)=9$, así que la fórmula vale para $n=1$. Ahora suponiendo que la fórmula vale para $n$ vamos a probar que también vale para $n+1$ (y con esto queda claro que vale para cualquier valor de $n$).
Notemos que $$\begin{align*}r(n+1)&=r(n)+(n+1)\cdot 9\cdot 10^{n}\\ & =n\cdot 10^n -\frac{10^n-1}{9}+(n+1)\cdot 9\cdot 10^{n}\\ &=(n+1)\cdot 10^n-10^n -\frac{10^n-1}{9}+(n+1)\cdot 9\cdot 10^{n}\\ &=(n+1)\cdot 10^{n+1}-10^n -\frac{10^n-1}{9}\\ &=(n+1)\cdot 10^{n+1}-\frac{10^{n+1}-1}{9} \end{align*}$$ y entonces la fórmula vale para todo $n$.
En el post anterior vimos que $n \cdot 9 \cdot 10^{n-1}\leq r(n )$ (esto vale porque es un término de la suma).
$n + \log_{10}(n)$ es creciente por lo que podemos acotar.
$\log_{10}(n) \leq 3 \Rightarrow n \leq 1000 \Rightarrow n + \log_{10}(n) \leq 1003$
Por lo que $\log_{10}(n) > 3 \Rightarrow n + \log_{10}(n) > n + 3$
$n + 3 \geq 2000 \Rightarrow n \geq 1997$
En el primer grupo tenemos $9$ números, en el segundo $90$, en el tercero $900$, en general en el grupo $k$ tenemos $9.10^{k-1}$ números. Y notemos que la posición del último digito de los números $9, 99, 999, 9999, \dots$ va a ser la suma
Y notar que $\log(9n-1) < \log(10n) < 1+\log n$ donde $\log n$ nos dice (con decimales) cuantos dígitos tiene $n$, entonces a simple vista podemos ver que $n = 1996$ o $n = 1997$, sin embargo si ponemos $n = 1996$ en la calculadora, vemos que no se cumple, mientras que $n = 1997$ si. Por lo tanto el menor $n$ posible es $1997$.
