Mensaje sin leer
por Lean »
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- $(a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-bc-ac+a+b+c-1\neq abc-1$
$\frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)}<\frac{abc}{(a - 1)(b -1)(c - 1)}=\frac{a}{(a - 1)}\frac{b}{(b -1)}\frac{c}{(c - 1)}$
Como $1 < a < b < c, a\geq 2, b\geq 3, c\geq 4$. Ademas, $\frac{a}{(a - 1)}=1+\frac{1}{a-1}$. De donde $\frac{a}{(a - 1)}$ decrece si $a$ crece.
Entonces, $\frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)} < \frac{a}{(a - 1)}\frac{b}{(b -1)}\frac{c}{(c - 1)}\leq \frac{2}{(2 - 1)}\frac{3}{(3-1)}\frac{4}{(4 - 1)}=4$
Si $a\geq 4, \frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)} < 2$, absurdo.
Si $a=2 \Rightarrow \frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)}=2$ o $\frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)} =3$.
Si $\frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)}=2 \Rightarrow 2d+2c=3$ absurdo.
Si $\frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)}=3 \Rightarrow bc-3c-3d+4=0 \Rightarrow (b-3)(c-3)=5 \Rightarrow b=4, c=8$.
Si $a=3 \Rightarrow \frac{abc-1}{(a - 1)(b -1)(c - 1)}=2 \Rightarrow bc-4b-4c+5=0 \Rightarrow (b-4)(c-4)=11 \Rightarrow b=5,c=15$.
Entonces, solo cumplen $(2,4,8)$ y $(3,5,15)$.
"El mejor número es el 73".
