IMO 1975 P4

[Lean]

Hallar la suma de los digitos de la suma de los digitos de la suma de los digitos de $4444^{4444}$.

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Sea $S(n)$ la suma de los digitos de $n$.

$S(4444^{4444}) \leq 9*log_{10}(4444^{4444})=9*4444log_{10}(4444)<17776*9=159984$

$S(S(4444^{4444})) \leq 45 \Rightarrow S(S(S(4444^{4444}))) \leq 3+9=12$

Ademas, la suma de los digitos de $n$ es congruente a $n$ modulo $9$. De donde se deduce que la suma de los digitos de la suma de los digitos de $n$ tiene el mismo resto modulo $9$ y asi sucesivamente.

$4444\equiv 7(mod9) \Rightarrow 4444^2 \equiv 4(mod9) \Rightarrow 4444^{2^2}\equiv 7(mod9)$. De esto, el resto de $4444^{2^{2n+1}}$ en la division por $9$ es $4$ y de $4444^{2^{2n}}$ es $7$.

$4444^{4444}=4444^{4096}*4444^{256}*4444^{64}*4444^{16}*4444^{8}*4444^4 \equiv 7^5*4 \equiv 7(mod9)$.

Como $7$ es el unico entero menor que $12$ que cumple esta condicion, $S(S(S(4444^{4444})))=7$. $\blacksquare$