Dos circunferencias son tangentes entre sí y tangentes a dos rectas que forman un ángulo de $60^\circ$, como se ve en la figura. Si el radio de la circunferencia menor es igual a $5$, calcular el radio de la circunferencia mayor.
Intercolegial 2023 N3 P3.png
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Sea O el centro de la cicunferencia menor, O' el de la circumferencia mayor, Q su intersección, y P el vértice entre los lados
Sean A y B las intersecciónes de la circumferencia menor con cada uno de los lados.
Sean A' y B' las intersecciónes de la circumferencia mayor con cada uno de los lados.
Como APO y BPO comparten PO, los ángulos OAP y OBP son iguales porque ambos son rectos, porque A y B son puntos tangenciales, y OA = OB porque son radios, entonces APO es congruente a BPO
Entonces el ángulo APO es igual al BPO, por lo tanto como suman 60° cada uno es de 30°. Entonces O esta sobre la bisectriz de APB. Podemos seguir el mismo razonamiento para concluir que O' también está en la bisectriz. Q está entre O y O' porque las circumferencias son tangentes, entonces P, O, Q, y O' son colineales.
El seno de 30° es igual a un medio, entonces en cualquier triangulo rectangulo, la hipotenusa es el doble de un lado opuesto a un ángulo de 30°. En la figura, esto sucede en los triángulos POA y PO'A', porque $OPA = O'PA' = 30°$ y $O'A'P = OAP = 90°$
$\frac{PO}{OA} = \frac{PO'}{O'A'} = 2$.
$OA = 5 \to PO = 2 \cdot 5 = 10$.
$PO' = PO + OQ + QO' = 10 + 5 + O'A'$ (porque $OQ = OA = 5$ y $QO' = A'O$ porque son radios)
$PO' = 15 + O'A'$
$\frac{15 + O'A'}{O'A'} = 2$
$\frac{15}{O'A'} + 1 = 2$
$\frac{15}{O'A'} = 1$
$O'A' = 15$
Así queda resuelto el problema. El radio de la circumferencia mayor es igual a 15.
Sea A el pumto de union de las doa rectas que contienen a las circunferencias. Al ser las dos cirfunferencias tangentes notemos que en el centro de estas deberia pasar la bisectriz. Sea O el centro de de la cirfunferencia pequeña y X el de la grande. Entonces, si trazamos una linea recta de o hasta la base nos queda un angulo recto al ser altura. Sea B, tal que BO sea esa altura. Como BÂO=30°, ya que es bisectriz, y ABO=90°, entonces AÔB=180°-(90°+30°)=60°. Siendo medio equilatero, tiene la peopiedad de que la mitad del cateto menor es la mitad de la hipotenusa, y como BO=5, por ser el radio de la cirfunferencia pequeña entonces AO=2×BO=2×5=10. Despues lo termino
A: Donde esta el ángulo de 60°
B: Punto de tangencia superior de la circunferencia chica
C: Punto de tangencia inferior de la circunferencia chica
D: Punto de tangencia superior de la circunferencia grande
D: Punto de tangencia inferior de la circunferencia grande
O: Centro circunferencia chica
g: Centro circunferencia grande
$AB = AC$ ya que B y C son puntos de tangencia.
Si trazamos $AO$ por propiedad del incentro, el ángulo de 60° queda divido en 2, es decir la bisectriz. Sabiendo esto nos queda un triangulo medio equilátero ABO por lo que AO es el doble de 5: $AO = 10$
Con este mismo planteamiento llegamos a que: $AO + OG = 2. R$, donde R es el radio de la circunferencia grande.
$OG = 5+ R$, es decir el radio de la chica mas el radio de la grande.
$10 + 5 + R = 2. R$
$R = 15$
El radio de la circunferencia grande es de 15.
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$