Desigualdad Triangular

[Ivan]

Sea [math]ABC un triángulo (no degenerado). Entonces

• [math]AB+BC>CA
• [math]BC+CA>AB
• [math]CA+AB>BC

Si permitimos que el triángulo sea degenerado (o sea que [math]A, [math]B y [math]C están alineados) puede valer la igualdad.

[Ivan]

Es un hecho conocido y simple, pero es muy útil.

Intuitivamente es una consecuencia de que el camino más corto entre dos puntos es en línea recta.

Que valgan esas desigualdades es una condición suficiente para que los números positivos [math]a, [math]b, [math]c sean lados de un triángulo.

Se usa frecuentemente en problemas de geometría y más en general cuando aparece algo que vale para los lados de un triángulo, por ejemplo en esta desigualdad http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=8&t=828#p2739

[Vladislao]

Otro hecho útil es que, [math]a, [math]b y [math]c son lados de un triángulo si y sólo si existen [math]x, [math]y y [math]z reales positivos que verifican:

[math]a=y+z
[math]b=z+x
[math]c=x+y

Es fácil ver que se verifican las desigualdades que posteó Ivan, y más aun, podemos interpretar esto geométricamente viendo que el incírculo de un triángulo [math]ABC es tangente a los lados [math]a, [math]b y [math]c de tal manera que se pueden apreciar las igualdades antes citadas.

[Ivan]

Otro hecho útil es que, [math]a, [math]b y [math]c son lados de un triángulo si y sólo si existen [math]x, [math]y y [math]z reales positivos que verifican:
[math]a=y+z
[math]b=z+x
[math]c=x+y

Jaja, con esto quemaste tu problema prácticamente

Demostración:

[math](\Rightarrow) Definamos

[math]x=\frac{b+c-a}{2}
[math]y=\frac{c+a-b}{2}
[math]z=\frac{a+b-c}{2}

Por la desigualdad triangular se tiene que [math]x, [math]y y [math]z son positivos. Notemos que se cumple que [math]y+z=a, [math]z+x=b y [math]x+y=c.

[math](\Leftarrow) Notemos que como [math]x, [math]y y [math]z son positivos [math]a+b-c=(y+z)+(z+x)-(x+y)=2z>0, entonces [math]a+b>c y se cumple la desigualdad triangular.


Esta es la interpretación geométrica que decía Vladislao:

incirculo.png

[Vladislao]

Otro hecho útil es que, [math]a, [math]b y [math]c son lados de un triángulo si y sólo si existen [math]x, [math]y y [math]z reales positivos que verifican:
[math]a=y+z
[math]b=z+x
[math]c=x+y

Jaja, con esto quemaste tu problema prácticamente

Nah, ni ahí. Si metés eso en el problema, se te transforma todo en un choclazo inmanejable. Se lo puede hacer sin usar eso, tranquilamente.

[Ivan]

Nah, no es taaan inmanejable. Es el truco estándar para desigualdades que valen para lados de un triángulo.

[Gianni De Rico]

Demostración:

Spoiler: mostrar

Veamos que $AB+BC>AC$, las otras desigualdades salen de la misma forma.
Sea $D$ el punto en la prolongación del lado $AB$ tal que $BD=BC$, luego $AD=AB+BD=AB+BC$, por lo tanto basta ver que $AD>AC$.
Ahora, $\triangle DCB$ es isósceles con $BD=BC$, luego $\angle BDC=\angle BCD$, por lo tanto $\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD=\angle ACB+\angle BDC>\angle BDC$. Mirando el triángulo $\triangle ACD$ tenemos $\angle C>\angle D\Rightarrow AD>AC$, y estamos.