Bruno y Nico escribieron varios enteros positivos en un pizarrón. Se sabe que la suma de los números escritos por Bruno es igual a la suma de los números escritos por Nico. Además, el producto de los números escritos en el pizarrón es igual a la cantidad total de números escritos en él.
$\text{a)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es par.
$\text{b)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es múltiplo de $4$.
Si uno de los números escritos es par entonces $\prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o$ es par y $K+L$ es par y estamos.
Supongamos, entonces, que todos los números son impares:
Como $b_1 \equiv b_2 \equiv ... \equiv b_K \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow \sum_{i=1}^{K} b_i \equiv K \pmod{2}$
Análogamente:
Como $n_1 \equiv n_2 \equiv ... \equiv n_L \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow \sum_{o=1}^{L} n_o \equiv L \pmod{2}$
Pero
$\sum_{i=1}^{K} b_i = \sum_{o=1}^{L} n_o \Rightarrow K\equiv L \pmod{2}$
$\Rightarrow 2\mid K+L$ (o son dos pares sumados, o son dos impares sumados)
$2\mid K+L \Rightarrow 2 \mid \prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o$
Es decir que al menos uno de los números escritos es par.
Si dos de los números son pares, entonces $4\mid \prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o = K+L$ y estamos.
Supongamos que sólo existe un número par. Y supongamos WLOG, que ese número par es de Bruno.
$2\mid K+L \Rightarrow K \equiv L \pmod{2}$
Y hay dos opciones:
1)