Vamos a buscar reales $T$ que cumplan$$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{ab^2+bc^2+ca^2-3abc}>T$$y ver si podemos encontrar alguno que sea al menos $\dfrac{17}{9}$.
Como la desigualdad es cíclica, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $c\leq a,b$, de modo que existen reales $x,y\geq 0$ tales que $a=c+x$ y $b=c+y$. Notemos además que no puede ser $x=y=0$, pues en ese caso resulta $a=b=c$, que no pasa por enunciado. Usando que$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\frac{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}{2}$$y reemplazando $a=c+x$ y $b=c+y$ obtenemos$$a^3+b^3+c^3-3abc=(3c+x+y)(x^2-xy+y^2).$$Para el numerador, simplemente expandimos todo para obtener$$ab^2+bc^2+ca^2-3abc=(x^2-xy+y^2)c+xy^2.$$Entonces la desigualdad es$$\frac{(3c+x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x^2-xy+y^2)c+xy^2}>T.$$Si $y=0$ entonces $x\neq 0$ y la fracción es$$\frac{(3c+x)x^2}{x^2c}=\frac{3c+x}{c}>\frac{3c}{c}=3,$$que anda. Lo mismo ocurre si $x=0$. Supongamos entonces que $x,y>0$.
Como $x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy\geq xy>0$, tenemos que $(x^2-xy+y^2)c+xy^2>0$, de modo que podemos multiplicar a ambos lados de la desigualdad sin que nos cambie el signo para obtener que ésta es equivalente a$$(3c+x+y)(x^2-xy+y^2)>T(x^2-xy+y^2)c+Txy^2,$$es decir$$(3-T)(x^2-xy+y^2)c+x^3+y^3>Txy^2.$$Si $T<3$ tenemos que $(3-T)(x^2-xy+y^2)c>0$, y no perdemos nada si suponemos esto porque $\dfrac{17}{9}<\dfrac{18}{9}=2$. Entonces lo que queremos es encontrar algún $T$ que cumpla $x^3+y^3\geq Txy^2$. Como esta es una desigualdad que involucra sumas y productos, nos gustaría usar AM-GM, el $y^2$ molesta un poco, así que lo podemos pensar como $y\cdot y$, lo que hace que tengamos $3$ términos multiplicando y por lo tanto necesitemos una raíz cúbica. Esto a su vez nos lleva a necesitar un $x^3$ y dos $y^3$ sumando, como no los tenemos, podemos pensar a $y^3$ como $\dfrac{y^3}{2}+\dfrac{y^3}{2}$. Entonces AM-GM nos da$$\frac{x^3+\frac{y^3}{2}+\frac{y^3}{2}}{3}\geq \sqrt[3]{x^3\frac{y^3}{2}\frac{y^3}{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}xy^2,$$es decir que nos da$$x^3+y^3\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}xy^2.$$Tomando entonces $T=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$ tenemos que$$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{ab^2+bc^2+ca^2-3abc}>T,$$de modo que estamos si $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}>\dfrac{17}{9}$. Esto es equivalente a $27>17\sqrt[3]{4}$, que elevando al cubo es equivalente a $19683>19652$, que es cierto. Entonces estamos.
En realidad $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$ es lo mejor que podemos hacer, ya que si $T>\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$ entonces no siempre se cumple la desigualdad$$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{ab^2+bc^2+ca^2-3abc}>T.$$En efecto, para que se de la igualdad en AM-GM se debe cumplir $x^3=\dfrac{y^3}{2}$, en particular, poniendo $x=1$ obtenemos que debe ser $y=\sqrt[3]{2}$. Luego, reemplazando estos valores en la desigualdad$$(3-T)(x^2-xy+y^2)c+x^3+y^3>Txy^2$$resulta$$(3-T)(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})c+3-\sqrt[3]{4}T\geq 0.$$Para $T\geq 3$, como $\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}>0$, resulta $(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})c>0$ al ser $c>0$, pero $3-T\leq 0$ y $3-\sqrt[3]{4}T<0$, de modo que no se cumple la desigualdad. Si $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}<T<3$, entonces$$(3-T)(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})c+3-\sqrt[3]{4}T\geq 0$$es equivalente a$$c\geq \frac{\sqrt[3]{4}T-3}{(3-T)(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})},$$con lo que tomando por ejemplo$$c=\frac{1}{2}\frac{\sqrt[3]{4}T-3}{(3-T)(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}<\frac{\sqrt[3]{4}T-3}{(3-T)(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})},$$tenemos que la desigualdad no se cumple. Entonces para que se cumpla debe ser siempre $T\leq \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$.
Originalmente teníamos pensado pedir el mayor valor de $T$ tal que siempre se diera la desigualdad, así que dejo esto para que también quede completa la solución a la versión no tomada.
Supongamos por el absurdo que$$k=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2b+b^2c+c^2a-3abc}<\frac{17}{9}.$$Escribamos $t=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$. Notar al sumar $d$ a todas las variables, el valor de $t$ es invariante. Por otro lado, el numerador aumenta en $3td$ mientras que el denominador aumenta en $td$. Luego:$$k=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2b+b^2c+c^2a-3abc}=\frac{x^3+y^3+3td}{x^2y+td},$$donde $d$ es igual al menor de $a$, $b$ y $c$, y $x$ e $y$ se obtienen al restarle $d$ a los otros dos.
Es bien sabido que $\frac{a+b}{c+d}$ está entre $\frac{a}{c}$ y $\frac{b}{d}$. Como en este caso $k<\frac{17}{9}<3$, vale que$$\frac{x^3+y^3}{x^2y}\le k\le \frac{3td}{td}=3.$$Pero por AM-GM vale que$$x^3+y^3=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^3+y^3\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}x^6y^3}=3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}x^2y,$$de donde $k\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$. Pero es fácil comprobar que $3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}>\frac{17}{9}$ es equivalente a $27^3>4\cdot 17^3$. Y se puede comprobar que esta desigualdad es efectivamente cierta (aunque la diferencia es de menos de $0.001$). Con esto, se demuestra lo deseado.
Sea $A$ la expresion de la izquierda. Notar que $A$ no cambia si cambiamos $(a,b,c)$ por $(b,c,a)$ o $(c,a,b)$, asi que podemos asumir que $c$ es el minimo de $a,b,c.$ La idea es que este tipo de expresiones en general se minimizan/maximizan cuando dos variables son iguales o cuando una es $0.$ Cuando $c=0$ usando AM-GM tenemos
$$A=\frac{a^3+b^3}{ab^2} = \frac{a^3+\frac12b^3+\frac12b^3}{ab^2} \geq \frac{3ab^2}{2^{2/3}ab^2} = \frac{3}{2^{2/3}}.$$
Cuando $b=c$ tenemos
$$A=\frac{a^3+2b^3-3ab^2}{ab^2+b^3+ba^2-3ab^2} = \frac{(a+2b)(a-b)^2}{b(a-b)^2} = 2 + \frac{a}{b} \geq 2.$$
El minimo de estos dos valores es $\frac{3}{2^{2/3}}$, entonces vamos a intentar probar que
$$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{ab^2+bc^2+ca^2-3abc} \geq \frac{3}{2^{2/3}}\tag{$*$},$$
que implica lo pedido ya que $\frac{3}{2^{2/3}} > \frac{17}{9}.$ Vamos a hacer esto de forma bruta, simplemente derivando y verificando condiciones de primer y segundo orden.
Reescribo $(*)$ de la siguiente forma: $\newcommand{\bp}[1]{\left({#1}\right)}$
$$a^3+b^3+c^3 - \frac{3}{2^{2/3}} (ab^2+bc^2+ca^2) + 3\bp{\frac{3}{2^{2/3}} - 1} abc \geq 0.$$
Sea $f(c)$ el lado izquierdo. Tenemos
$$f'(c) = 3c^2 - 2 \frac{3}{2^{2/3}} bc - \frac{3}{2^{2/3}} a^2 + 3\bp{\frac{3}{2^{2/3}} - 1} ab$$
y $f''(c) = 6c - 2 \frac{3}{2^{2/3}} b = 6\bp{c - \frac{b}{2^{2/3}}}.$ Si $c\leq \frac{b}{2^{2/3}}$ entonces $f''\leq 0$, y el minimo se da en un extremo, es decir, o bien $c=0$ o bien $c=\frac{b}{2^{2/3}}.$ El caso $c=0$ ya lo verifique, asi que basta probar $f(c)\geq0$ asumiendo $c\geq \frac{b}{2^{2/3}}$, que implica $a\geq \frac{b}{2^{2/3}}$ porque $c=\min\{a,b,c\}.$
Es una cuentita ver que $f'(a) = 3(1-2^{-2/3})a(a-b).$ Si $a<b$ entonces $f'(a)<0$, luego $f'(c)<0$ para $c\in(\frac{b}{2^{2/3}},a)$ ya que $f''>0$ ahi. Entonces el minimo en ese intervalo se da cuando $c=a.$ Pero ya vimos que la desigualdad se cumple cuando dos variables son iguales. Entonces resta considerar el caso $a\geq b.$ Calculamos $f'(b) = -\frac3{2^{2/3}}(a-(2-2^{2/3})b)(a-b).$ Ahora $a\geq b\geq (2-2^{2/3})b$ ya que $2^{2/3}>1.$ Entonces $f'(b)\leq0.$ Por el mismo argumento de antes $f'(c)<0$ en $c\in(\frac{b}{2^{2/3}},b)$, asi que el minimo se da cuando $c=b$, pero ya vimos que si dos variables son iguales la desigualdad vale. Con esto terminamos.
