Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 2 Problema 4

Fedex

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Medalla-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Mención-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Medalla-FOFO 10 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2021 OFO - Jurado-OFO 2022 OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 269
Registrado: Mar 31 Dic, 2019 2:26 am
Medallas: 11
Nivel: 3
Ubicación: Rosario, Santa Fe
Contactar:

Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 2 Problema 4

Mensaje sin leer por Fedex »

Sea $n$ un entero positivo impar y sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales distintos entre sí, donde $M$ es el mayor y $m$ el menor de ellos. Brian escribe en el pizarrón la expresión$$s= * a_1*a_2*\cdots *a_n$$y le pide a Fede que reemplace cada $*$ por un signo $+$ o un signo $-$ de modo que resulte$$m<s<M.$$Demostrar que Fede siempre puede lograr su objetivo.
This homie really did 1 at P6 and dipped.
Avatar de Usuario
Kechi

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2023 OFO - Medalla de Plata-OFO 2024
Mensajes: 76
Registrado: Mié 21 Sep, 2022 1:41 pm
Medallas: 2
Nivel: 2

Re: Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 2 Problema 4

Mensaje sin leer por Kechi »

Spoiler: mostrar
Supongamos sin pérdida de generalidad que $a_1<a_2<\dots<a_n$. Tenemos que $a_1=m$ y $a_n=M$. Ahora definamos $d_i=a_{i+1}-a_i$ para cualquier $1\leq i\leq n-1$. Notemos que
$$a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}d_k$$
Si agarramos todos los $a_x$ con $x$ par, les reemplazamos el signo $*$ que tienen delante por el signo $-$ y los demás $*$ los reemplazamos por $+$, obtenemos
$$s=a_1+\sum_{l=1}^{\frac{n-1}{2}}d_{2l}$$
Claramente $a_1<s$, y también $\sum_{k=1}^{n-1}d_k>\sum_{l=1}^{\frac{n-1}{2}}d_{2l}$ ya que en esta segunda suma no están los $d$ impares, de donde sigue que $a_n>s$. Es decir, $m<s<M$ como queríamos.
2  
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
Fedex

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Medalla-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Mención-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Medalla-FOFO 10 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2021 OFO - Jurado-OFO 2022 OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 269
Registrado: Mar 31 Dic, 2019 2:26 am
Medallas: 11
Nivel: 3
Ubicación: Rosario, Santa Fe
Contactar:

Re: Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 2 Problema 4

Mensaje sin leer por Fedex »

Es lo mismo que arriba:
Spoiler: mostrar
Sean $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ y la elección $s = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots + a_n$ (recordemos que $n$ es impar). Notemos que:
$$s = a_1 + (- a_2 + a_3) + (-a_4 + a_5) + \cdots + (-a_{n-1} + a_n) > a_1$$
Y también:
$$s = (a_1-a_2) + (a_3 - a_4) + \cdots + (a_{n-2} - a_{n-1}) + a_n < a_n$$
Por lo que $m = a_1 < s < a_n = M$ como queríamos.
2  
This homie really did 1 at P6 and dipped.
Avatar de Usuario
Lean

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2023 FOFO 13 años - Mención-FOFO 13 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2024
Mensajes: 176
Registrado: Vie 20 Ene, 2023 10:38 am
Medallas: 3
Nivel: 3
Ubicación: Quilmes

Re: Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 2 Problema 4

Mensaje sin leer por Lean »

Spoiler: mostrar
La misma idea, sean $a_1$ < $a_2$ < $a_3$ < ... < $a_n$, con m = $a_1$ y M = $a_n$.

Elegimos el signo positivo delante de todos los $a_i$ con i impar y signo negativo para los i+1.

Como n es impar, tenemos (n-1)/2 grupos, a los que podemos agrupar en subconjuntos de -$a_{i+1}$ + $a_{i+2}$, y como $a_{i+2}$ > $a_{i+1}$, nos queda que -$a_{i+1}$ + $a_{i+2}$ = $c_1$ > 0, por lo que s = m + $c_1$ + $c_2$ + $c_3$ + ... + $c_{(n-1)/2}$ > m.

Si agrupamos en subconjuntos de formato $a_{i}$ - $a_{i+1}$, como $a_{i+1}$ > $a_{i}$, entonces $a_{i}$ - $a_{i+1}$ = $d_1$ < 0.
Entonces s = $d_1$ + $d_2$ + $d_3$ + ... + $d_{(n-1)/2}$ + M < M.

Por lo que Fede siempre puede lograr que m < s < M.
"El mejor número es el 73".
Responder