Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 1 Problema 6

Fedex

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Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 1 Problema 6

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Sean $a,b,c$ enteros positivos tales que $a^3b^5c^2$ es la séptima potencia de un entero. Demostrar que $ab^4c^3$ es la séptima potencia de un entero.
This homie really did 1 at P6 and dipped.
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Kechi

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Re: Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 1 Problema 6

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Notemos que $\left(ab^4c^3\right)^3=a^3b^{12}c^9=b^7c^7\cdot a^3b^5c^2$. Como $b^7c^7$ y $a^3b^5c^2$ son séptimas potencias su producto también lo es, o sea que $\left(ab^4c^3\right)^3$ es una séptima potencia y un cubo perfecto.

Si factorizamos en primos a $\left(ab^4c^3\right)^3$ veremos que cada factor primo está elevado a un número múltiplo de $7$ y de $3$. Al calcular la raíz cúbica dividimos los exponentes entre $3$ por lo que siguen siendo múltiplos de $7$, es decir que $ab^4c^3$ es la séptima potencia de un entero. $\bigstar$
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"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
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