Rioplatense 2022 - N1 P3

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Matías V5

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Rioplatense 2022 - N1 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sobre la mesa hay $N$ tarjetas. En cada tarjeta está escrito un número entero.
Beto hace varias veces la siguiente operación: elige dos tarjetas de la mesa, calcula la diferencia entre los números que están escritos en ellas, anota el resultado en su cuaderno y retira esas dos tarjetas de la mesa. Puede hacer esta operación tantas veces como desee, mientras siga habiendo al menos dos tarjetas sobre la mesa.
Al final, Beto multiplica todos los números que anotó en su cuaderno. El objetivo de Beto es que el resultado de esta multiplicación sea un múltiplo de $7^{100}$.
Determinar el mínimo valor de $N$ para el cual Beto siempre puede lograr su objetivo, sin importar cuáles sean los números en las tarjetas.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Diego C
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Re: Rioplatense 2022 - N1 P3

Mensaje sin leer por Diego C »

Respuesta:
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$N=128$
Solución:
Spoiler: mostrar
Para cada par de números con el mismo resto en la división por $7$, se obtiene un múltiplo de $7$ en la resta, es decir:
$$n+7k-n-7y=7.(k-y)$$
pero también que:
$$n+7(7k+x)-(n+7(7y+x))=7.(7k+x)-7(7y+x)=7.(7k+x-7y-x)=7.(7k-7y)=7^2.(k-y)$$
Entonces, suponiendo una lista de ocho números con el mismo resto, usando los mismos pasos que Beto, se obtiene un múltiplo de $7^5$ como mínimo, pero si la lista es de $7$, da $7^3$ como mínimo.
Entonces, en una lista hay $A$ números tal que $A\geq 7$
Si $A$ es par, entonces la la cantidad de múltiplos de $7$ que se obtienen es $\frac{A}{2}+\frac{A-8}{2}+1=A-3$
Si $A$ es impar, seria $\frac{A-1}{2}+\frac{A-7}{2}=A-4$
Suponemos que hay 6 grupos de 7 números, cada número de un grupo tiene el mismo resto en la división por $7$ que los otros de su grupo, y distinto a todos los números de los demás grupos, significa que hay $7^{18}$ y queda para el ultimo conjunto $A_7$ $7^{82}$
Si $A_7$ es impar, entonces seria $A_7=86$, tiene un total de $7^{83}$, cumple, pero se pasa por 1, así que suponemos $A=85$, que da un total de $7^{81}$, por lo que $A_7\geq 86$.
Ahora probemos si $A_7=86$ es el mínimo.
Como los otros $6$ conjuntos tiene $7$ números cada uno, cualquier intercambio de números entre ellos siempre va a tener por lo menos $7^{18}$
Sea $f(A_x)=\lfloor\frac{A_x}{2}\rfloor+\lfloor\frac{A_x+2}{2}\rfloor$ y sea $f(A)=f(A_1)+f(A_2)+f(A_3).....+f(A_7)$
Pero si le saco una cantidad números $k$ a $A_7$ y se lo doy a otro conjunto pasa esto:
$86≡2(mod$ $7)$
Si $K=2 \Rightarrow A_7=84 \Rightarrow f(86)-f(84)=2$
Si se reparten, van a ser dos conjuntos de $8$, $4$ de $7$ y otro de $84 \Rightarrow f(A)=103$, por lo que si puede
Si no se reparte, van a haber un conjunto de $9$, $5$ de $7$ y uno de $84$$ \Rightarrow f(A)=101$, cumple
Es obvio que si $k=1$ tambien cumple
A $k>2$ se lo puede escribir como $k=2c+1$
por ejemplo:$ k=7=2.3+1$
Entonces, se puede con $k=2c$ se puede ya que solo repito lo anterios $c$ veces, pero con $k=2c+1$ solo hago lo mismo que con $k=1$ y repito el procedimiento de $k=2$ y si se va a cumplir, entonces, para cualquier valor de $k$ se va a cumplir, por lo que $N=86+6.7$
$N=128$
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