Rioplatense 2022 - N1 P2

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Matías V5

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Rioplatense 2022 - N1 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Cuatro equipos $A$, $B$, $C$ y $D$ disputan un torneo de fútbol en el que cada equipo juega contra cada uno de los otros exactamente dos veces (son $12$ partidos en total). En cada partido, si hay empate cada equipo suma $1$ punto y si no hay empate el ganador suma $3$ puntos y el perdedor $0$ puntos.
Sabiendo que al final del torneo los equipos $A$, $B$ y $C$ tienen $8$ puntos cada uno, determinar todos los posibles puntajes del equipo $D$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Diego C
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Re: Rioplatense 2022 - N1 P2

Mensaje sin leer por Diego C »

Respuesta:
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D={3, 4, 6, 7, 8 y 9}
Solución:
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Como $A$ $B$ y $C$ tienen $8$ pts, su forma de menor cantidad de empates es $3(6/2)$ y cada uno de ellos gano al menos una vez
Cada partido que no termine en empate suma un punto mas a la suma $A+B+C+D$
Si todos los partidos son empates, tenemos que por partido se suman 2 puntos, el total seria 24, con
D=0$ \Rightarrow A+B+C+D=24+D$ $\Rightarrow D$ es igual a la cantidad de partidos que no son empates $E$, $E=12-D$
Esto indica que $E\geq 3=12-D \Rightarrow D\geq 3\leq 9$
Para $D=3$
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Para $D=3$ esta el ejemplo:
$A-B=2-2$
$A-C=2-2$
$A-D=4-1$
$B-C=2-2$
$B-D=4-1$
$ C-D=4-1$
Para $D=4$
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$A-B=4-1$
$A-C=2-2$
$A-D=2-2$
$B-C=1-4$
$B-D=6-0$
$C-D=2-2$
Para $D=5$
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$D=5 \Rightarrow $hubieron $7$ $E$
Suponiendo $D=5E+P \Rightarrow A-D=2-2, B-D=2-2, C-D=4-1$
Veamos los posibles casos de $C-A$ con lo anterior
Si $C-A=4-1 \Rightarrow A-B=5-x$, lo cual es imposible ya que un equipo en dos partidos solo puede obtener $0-6, 1-4, 2-2$ y $3-3$
Si $C-A=3-3 \Rightarrow B-A=3-3 \Rightarrow B-C=3-3$ pero en ese caso C tiene $10$ puntos, lo cual no esta permitido
Si $C-A=2-2 \Rightarrow C-B=2$ pero para que cumpla esto tienen que haber $9$ empates, $(2$ en $A-D$, $2$ en $B-D$, $1$ en $C-D$, $2$ en $A-C$ y $2$ en $C-B)$ pero la cantidad de empates $E=12-D=12-5=7$
Si $C-A=1-4 \Rightarrow A-B=2-2 \Rightarrow B-C=4-1$, pero también que $B-C=3-3$, lo que da contradicción
Si $C-A=0-6 \Rightarrow C-B=4-1 \Rightarrow B-A=5-X$ lo cual es imposible por 5 puntos en 2 partidos
Entonces solo queda que $D=5=1G+2E$, significa que entre los partidos donde $D$ no estuvo hubieron 5 empates, entre $A$, $B$ y $C$, y deja que si o si hay al menos un equipo de ellos $A$ que tuvo $A\geq 3 E$, como tiene mas de $2$ pts, indica que $A=8\neq 2G+2E$ haciendo que solo quede la forma $A=8=5E+G$, $A$ no perdió ningún partido.
Si $A-D=4-1 \Rightarrow A-B=A-C=2-2 \Rightarrow B-D=4-1$, $3-3$ o $2-2$
Si $B-D=4-1 \Rightarrow C-D=3-3 \Rightarrow C-B=3-3$ pero $B$ tendría 9 puntos, por lo que no puede.
Si $B-D=3-3 \Rightarrow C-D=4-1 \Rightarrow C-B=4-1$ pero también $C-B=3-3$, no se puede.
Si $B-D=2-2 \Rightarrow B-C=4-1 \Rightarrow C-D=5-x$, que tampoco se puede.
Si $A-D=2-2 \Rightarrow A-C=2-2 \Rightarrow A-B=4-1 \Rightarrow C-D=3-3, 2-2, 4-1$ y $6-0$
Si $C-D=3-3 \Rightarrow C-B=3-3 \Rightarrow B-D=4-1$ pero también que $B-D=6-0$, no se puede.
Si $C-D=2-2 \Rightarrow C-B=4-1 \Rightarrow B-D=6-0$ pero también que $B-D=4-1$, no se puede.
Si $C-D=4-1 \Rightarrow B-D=2-2 \Rightarrow B-C=5-X$, imposible
Si $C-D=6-0 \Rightarrow B-C=6-0$ pero también que $B-D=3-3$ deja que $B$ tiene $9$ puntos, y ya se probaron todas las posibles posiciones de $D=5$, y ninguna se puede, $D\neq 5$
Para $D=6$
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$A-B=3-3$
$A-C=3-3$
$A-D=2-2$
$B-C=3-3$
$B-D=2-2$
$C-D=2-2$
Para $D=7$
Spoiler: mostrar
$A-B=2-2$
$A-C=0-6$
$A-D=6-0$
$B-C=2-2$
$B-D=4-1$
$C-D=0-6$
Para $D=8$
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$A-B=2-2$
$A-C=3-3$
$A-D=3-3$
$B-C=3-3$
$B-D=3-3$
$C-D=2-2$
Para $D=9$
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$A-B=4-1$
$A-C=4-1$
$A-D=0-6$
$B-C=4-1$
$B-D=3-3$
$C-D=6-0$
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