Rioplatense 2022 - N2 P2

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Matías V5

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Rioplatense 2022 - N2 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sean $m,n\geq 2$. Se desea cubrir completamente un tablero cuadriculado de $m\times n$, sin huecos ni superposiciones, usando exclusivamente piezas de los siguientes dos tipos:
rio22p2n2.PNG
Cada pieza de tipo $A$ debe cubrir exactamente $4$ casillas del tablero y cada pieza de tipo $B$ debe cubrir exactamente $5$ casillas del tablero. Está permitido girar las piezas.
Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales esto se puede hacer.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Re: Rioplatense 2022 - N2 P2

Mensaje sin leer por Fedex »

Spoiler: mostrar
Probaremos que si en un tablero que se pueda cubrir de esta forma, alguna dimensión es impar, entonces la otra es múltiplo de $3$.
Tenemos un tablero de $m \times n$ donde $n$ es impar. Ahora pintamos el tablero de blanco y negro alternando por filas perpendiculares al lado de largo $n$. Si empezamos pintando de negro, la diferencia entre casillas de negro y casillas de blanco es exactamente $m$. Ahora, todo cuadrado de $2 \times 2$ cubre exactamente $2$ blancas y $2$ negras mientras que una $L$ de $3 \times 3$ cubre $4$ de un tipo de $1$ del otro por lo que cada pieza verifica que la diferencia entre casillas de un color y de otro es múltiplo de $3$. Si sumamos estas diferencias entre negras y blancas tenemos $m$, por lo que $m$ debe ser un múltiplo de $3$.
Si $m$ y $n$ son pares es claro que puede cubrirse con cuadrados de $2 \times 2$.
Si $m$ y $n$ son impares, entonces son múltiplos de $3$, por lo que puede cubrirse con cuadrados de $3 \times 3$ (que se forman con una $L$ y un $2 \times 2$ dentro).
Si $m$ es par y $n \geq 3$ impar entonces $m$ es múltiplo de $3$ por lo que podemos cubrir el lado de largo $m$ con cuadrados de $3 \times 3$ dejando un subtablero de $m \times (n-3)$ que puede llenarse con cuadrados de $2 \times 2$. Si en este caso $n = 1$ es claro que no se puede llenar.
Por lo que estamos!
This homie really did 1 at P6 and dipped.
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