¿De cuántas maneras se pueden ordenar los números enteros desde el $2$ hasta el $2022$ inclusive de modo que el primero sea múltiplo de $1$, el segundo sea múltiplo de $2$, el tercero sea múltiplo de $3$, y así sucesivamente hasta que el último sea múltiplo de $2021$?
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Los numeros $1012, 1013,...,2021$ quedan fijos en sus posiciones de equivalente valor respectivamente ya que sus dobles son $>2022$.
El $2022$ solo puede ocupar las casillas $2,3,6,337,674,1011$.
Si la cadena de numeros empieza con un numero $x$ distinto de los divisores de $2022$, entonces $2x$ es el minimo numero que debe ir en la posicion $x$, $4x$ el minimo en la posicion $2x$ y llegando a un punto donde $2^ix$ es el menor tal que es $>2021$, la posicion $2^{i-1}$ estara vacia. Si tengo un divisor $d$ de $2022$ al principio, es "movible" ya que $2022$ puede ocupar la casilla $d$ y $d$ es "movible" a las casillas $c \leq d$ donde $c|d$ siempre que $c$ tenga lugar en un $e\leq c, e|c$ y asi sucesivamente hasta que no sea posible este procedimiento.
Ademas, un numero $x$ solo es "movible" si es hacia un casilla $\leq x$.
Entonces:
$2022,2,3,4,...,2021$.
Si muevo el $2 \Rightarrow 2,2022,3,4,...2021$.
Si muevo el $3 \Rightarrow 3,2,2022,4,5,...,2021$.
Si muevo el $6 \Rightarrow (6,2,3,4,5,2022,7,8,...,2021), (2,6,3,4,5,2022,7,...,2021), (3,2,6,4,5,2022,7,...,2021)$.
Si muevo el $337 \Rightarrow (337,2,3,4,5,6,7,...,336,2022,338,...,2021)$.
Si muevo el $674 \Rightarrow (674,2,3,4,...,673,2022,675,...,2021), (2,674,3,4,5,...,673,2022,675,...,2021)$.
Si muevo el $1011 \Rightarrow (1011,2,3,4,...,1010,2022,1012,...,2021)$.