Rioplatense 2022 - N3 P3

[Matías V5]

Sea $n$ un entero positivo. Dada una sucesión de números reales no negativos $x_1,\ldots ,x_n$ definimos la sucesión transformada $y_1,\ldots ,y_n$ de la siguiente manera: el término $y_i$ es el mayor valor posible del promedio de términos consecutivos de la sucesión que contengan a $x_i$. Por ejemplo, la sucesión transformada de $2,4,1,4,1$ es $3,4,3,4,5/2$.
Demuestre que

1. Para todo $t$ real positivo, la cantidad de términos $y_i$ tales que $y_i > t$ es menor o igual que $\frac{2}{t} (x_1+\cdots +x_n)$.
2. Se verifica la desigualdad $\displaystyle \frac{y_1+\cdots +y_n}{32n}\leq \sqrt{\frac{x_1^2+\cdots +x_n^2}{32n}}$.

[drynshock]

Tip: Usar la desigualdad $AM-GM$