Rioplatense 2022 - N3 P2

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Matías V5

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Rioplatense 2022 - N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$. Sean $D,E,F$ los pies de las alturas relativas a los vértices $A,B,C$ respectivamente. El circuncírculo $\Gamma$ de $AEF$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $A$ y $M$. Supongamos que $BM$ es tangente a $\Gamma$.
Demuestre que $M$, $F$ y $D$ son colineales.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2022 - N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Tenemos que $\angle AEM=180^\circ -\angle BMA=\angle ACB$, de modo que $EM\parallel BC$, con lo que $E$ y $M$ son simétricos respecto de $AD$, y así $\angle ADM=\angle ADE=\angle ADF$, con lo que $M,F,D$ son colineales.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
gerez_robert
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Re: Rioplatense 2022 - N3 P2

Mensaje sin leer por gerez_robert »

Una bastante mas larguita, pero me gustó.
Solución:
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Sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$.
Notando que $AMBC$, $AMHE$ y $BCEF$ son cíclicos(pues es trivial ver que $H$ pertenece a $\Gamma$ y $AH$ es diametro) tenemos que, $AM$ es el eje radical de $\Gamma$ y $(AMBC)$, $FE$ es el eje radical $(BCEF)$ y $\Gamma$, por último $BC$ es el eje radical de $(BCEF)$ y $(AMBC)$, entonces concurren en un punto, sea $K$ dicho punto.
Luego $\angle KDH=\angle BDH=\angle BDA=90^{\circ}=\angle HMA=\angle KMH$ $\Rightarrow$ $KMHD$ es cíclico. Utilizando que $AMBC$ es cíclico y que $BM$ es tangente a $\Gamma$ tendriamos que, $\angle ACD+\angle DAC=90^{\circ}=\angle KMH=\angle KMB+\angle BMH=\angle ACD+\angle MAH$ $\Rightarrow$ $\angle DAC=\angle MAH=\angle KAD$ $\Rightarrow$ $\triangle KAC$ es isosceles, y $AD$ es mediatriz de $KC$ $\Rightarrow$ $\angle HKB=\angle HKC=\angle HCK=\angle HCK=\angle HCD=\angle HAF=\angle HAB$ $\Rightarrow$ $AHBK$ es cíclico, uniendolo con que $AH$ bisecta al $\angle FDE$ tendriamos: $\angle MDH=\angle MKH=\angle AKH=\angle ACH=\angle ECH=\angle EDH=\angle FDH$, de donde $M, F$ y $D$ están alineados.
amo a mis perritos
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