Hallar todos los números reales $x$ tales que exactamente uno de los cuatros números, $x-\sqrt{2}$, $x-\dfrac{1}{x}$, $x+\dfrac{1}{x}$ y $x^2+2\sqrt{2}$, no es un número entero.
Supongamos un $x$ para el cual $x^2+2\sqrt{2}$ es el no entero. Entonces $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=2x$ es entero, y $2x-2\cdot\left(x-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}$ también lo es, absurdo. Por lo tanto $x^2+2\sqrt{2}$ siempre es entero.
Ahora supongamos un $x$ tal que $x-\sqrt{2}$ es el no entero. Como vimos antes $2x$ si es entero, y luego $\left(2x\right)^2-4\cdot\left(x^2+2\sqrt{2}\right)=4x^2-4x^2-8\sqrt{2}=-8\sqrt{2}$ también lo es, absurdo nuevamente. Por lo tanto $x-\sqrt{2}$ siempre es entero de donde se deduce que $x=b+\sqrt{2}$ con $b\in\mathbb Z$.
Con lo último que deducimos podemos ver que para que $x^2+2\sqrt{2}=b^2+2b\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}$ sea entero, como $b^2+2$ ya lo es, necesitamos que $2b\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\left(b+1\right)$ sea entero, y esto solo puede pasar si $(b+1)$ es $0$, por lo que $b=-1$ y terminamos con que $x=\sqrt{2}-1$ es el único valor posible que puede cumplir.
Efectivamente se cumple, entre
$$\left(\sqrt{2}-1\right)^2+2\sqrt{2}=3$$
$$\left(\sqrt{2}-1\right)-\sqrt{2}=-1$$
$$\left(\sqrt{2}-1\right)-\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=-2$$
$$\left(\sqrt{2}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=2\sqrt{2}$$
Solo uno no es entero. $\bigstar$
