Sea $M$ el conjunto de todos los resultados de multiplicar dos primos positivos distintos que sean divisores de $30030$. Facu elige números de $M$ de manera que entre los elegidos no haya tres que multiplicados den $30030$ (o sea, no hay tres números $a$, $b$, $c$, tales que $a\cdot b\cdot c=30030$). Determinar la mayor cantidad de números de $M$ que puede elegir Facu.
Sea #$M$ el valor que el enunciado pide que hallemos.
Primero que nada, buscamos la factorizacion en primos de 30030:
$30030 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13$
Sabiendo esto, inicialmente el valor de #$M = 15$
Para que $a ⋅ b ⋅ c$ sea igual a 30030, deben estar involucrados los 6 nros primos del principio. Ya que si falta uno, este se reemplazaria por otro primo, dando una factorizacion diferente, y a su vez, un resultado distinto.
Supongamos que #$M = 10$:
En este caso, Facu puede elegir 10 multiplicaciones que excluyan a un factor de 30030.
Ej: Elige todas las multiplicaciones en las que no aparece el 2 por lo que la factorizacion cambia y no puede dar 30030.
Con esto afirmamos que #$M \geqslant 10$
Luego, supongamos que #$M = 11$.
Facu, deberia borrar 4 multiplicaciones que involucren a un factor primo, sobrando asi 1 multiplicacion que se utilizaria para llegar al 30030.
Si seguimos suponiendo con #$M > 11$ llegariamos a lo mismo ya que van a sobrar 2, 3 o 4 multiplicaciones dando lugar siempre a minimo una multiplicacion que permita llegar a 30030.
Representamos a un numero $n =pq$ con $p$ y $q$ primos como $(p, q)$ (o lo que es lo mismo, $(q, p)$)
Particionamos a $M$ en los siguientes grupos de pares de números primos:
$$(2,3) \; (5,7) \; (11,13)$$
$$(2,5) \; (7,11) \; (3, 13)$$
$$(2,7) \; (3, 11) \; (5, 13)$$
$$(2, 11) \; (3, 5) \; (7, 13)$$
$$(2, 13) \; (3, 7) \; (5, 11)$$
Notar que si hacemos el producto de los tres números en un de mismo grupo tenemos $30030$, luego podemos tomar a lo sumo $2$ números por cada grupo que en total son $2 \cdot 5 = 10$ números como máximo.
El ejemplo lo dio Geronimo arriba así que $10$ es el máximo buscado.
La notación $\# M$ se usa para indicar la cantidad de elementos de $M$, así que no es recomendable intentar usarla para otra cosa, ya que puede confundir, lo que vos estás buscando en realidad es el mayor valor posible de $\# E$, donde $E$ es el conjunto de números elegidos por Facu.
Notemos que 30030 tiene 6 divisores primos, los cuales podemos combinar de a pares de 15 maneras. (Con la formula n(n-1)/2, la cual sirve para calcular las aristas de un grafo completo) finalmente tenemos que quitar todos los numeros que sean multiplos de un primo en específico para que no pueda dar 30030, como hay 6 números, hay 5 números que son multiplos de un primo en específico. Por lo tanto: 15 elementos de m - 5 multiplos =10 numeros maximo
Veamos que hay $\binom{6}{2}=\frac{6!}{4!\times 2!}=15$ pares distintos, luego para que la multiplicación sea distinta de $30030$ no debe de estar alguno de sus divisores (ya sea $2,3,5,7,11$ o $13$). Veamos que si no esta un divisor cualquiera $d$ no podemos usar $5$ pares de $M$ y como a medida que prohibamos usar mas divisores de $M$ nos quedaran menos pares podemos afirmar que el máximo es $15-5=10$
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