Encontrar todas las tripletas $(p,q,r)$ de enteros positivos que cumplan que $p$ y $q$ son números primos (no necesariamente distintos), que $r$ es par y que$$p^3+q^2=4r^2+45r+103.$$
Como $r$ es par, entonces $r=2k$ para algún $k\in \mathbb{N}$. La ecuación resulta$$p^3+q^2=16k^2+90k+103.$$Como $p+q\equiv p^3+q^2\pmod 2$ y $16k^2+90k+103\equiv 1\pmod 2$, entonces $p+q\equiv 1\pmod 2$, de modo que $p$ y $q$ tienen distinta paridad, y al ser primos tenemos que uno de ellos debe ser $2$.
Supongamos que $p=2$. La ecuación resulta$$q^2=16k^2+90k+95.$$Tenemos que$$16k^2+90k+95\equiv 2k-1\pmod 8$$y que $q^2\equiv 1\pmod 8$ al ser $q$ impar. Entonces $2k-2\equiv 0\pmod 8$, de modo que $k-1=4n$ para algún $n\in \mathbb{N}$. La ecuación resulta$$q^2=256n^2+488n+201.$$Tenemos que$$256n^2+488n+201\equiv n^2+2n\pmod 3,$$con lo que $q^2\equiv n(n+2)\pmod 3$. Si $n\equiv 0\pmod 3$ o $n\equiv 1\pmod 3$, entonces $q^2\equiv 0\pmod 3$; si $n\equiv 2\pmod 3$, entonces $q^2\equiv 2\pmod 3$, que no puede pasar. Entonces $q^2\equiv 0\pmod 3$, de modo que $q=3$ al ser primo. Pero en este caso la cuadrática no tiene soluciones enteras para $n$. Absurdo.
Entonces $q=2$. La ecuación resulta$$p^3=16k^2+90k+99=(2k+3)(8k+33)$$(esto sale de resolver la cuadrática). Como $p$ es primo y $1<2k+3<8k+33$ al ser $k$ natural, resulta $2k+3=p$ y $8k+33=p^2$, con lo que $8k+33=(2k+3)^2$, que tiene raíces $k=-3$ y $k=2$, pero como $k$ es natural resulta $k=2$, de donde $p=2k+3=7$ y $r=2k=4$.
