Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

[Ivan]

La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice que si [math]a_1,\: a_2,\: \cdots a_n y [math]b_1,\: b_2,\: \cdots b_n son números reales, entonces

[math]\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right)

Además la igualdad vale si y solamente si ([math]a_i=0 para todo [math]i) o (existe [math]x\in \mathbb{R} tal que [math]a_i x+b_i=0 para todo [math]1\leq i\leq n).

Comentario:
Si todos los números son positivos, la igualdad vale si y solamente si [math]\: \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}.

[Ivan]

Demostración:
Si [math]a_i=0 para todo [math]i estamos (y vale la igualdad).

Si no, consideremos el polinomio cuadrático [math]\sum_{i=1}^n (a_i x+b_i)^2= \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)x^2 + \left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)x+ \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).

Notemos que el coeficiente de [math]x^2 no es [math]0, así que el razonamiento que hacemos a continuación es válido.

Es claro que [math]\sum_{i=1}^n (a_i x+b_i)^2\geq 0. Entonces si llamamos [math]\Delta al discriminante de ese polinomio, tenemos [math]\Delta\leq 0.

Pero [math]0\geq \Delta=\left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2-4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right), se puede escribir como [math]\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right), que es la desigualdad que queríamos.

Más aún, [math]\Delta=0 \: \: \Leftrightarrow el polinomio tiene exactamente una raíz [math]\Leftrightarrow \exists x\in \mathbb{R} tal que [math]a_i x + b_i=0 para todo [math]i. Esto muetra cuando vale la igualdad.

Esta es la demostración habitual de Cauchy-Schwarz, también hay una usando álgebra lineal.

[Vladislao]

Una demostración más directa de Cauchy Schwarz es la siguiente:

Sean [math]\vec{A}, \vec{B} \in \mathbb{R}^n. Entonces, [math]\vec{A}\cdot \vec{B} = ||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}|| \cos \measuredangle (\vec{A},\vec{B}). Luego:

[math]\cos \measuredangle (\vec{A},\vec{B}) = \frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}||}

Es conocido que la función coseno tiene toma valores del conjunto [math][-1,1], por lo que la expresión de la derecha debe cumplir que:

[math]-1 \leq \frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}||} \leq 1

[math]- ||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}|| \leq \vec{A}\cdot \vec{B} \leq ||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}||

De la última desigualdad se deduce que:

[math]|\vec{A}\cdot\vec{B}| \leq ||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}||

Que es la desigualdad de Cauchy Schwarz.

NOTA: Si bien la desigualdad del final involucra vectores, es sencillo ver que es exactamente la misma que la que posteó Iván (faltaría elevar al cuadrado a ambos lados, pero en definitiva es lo mismo) usando las componentes.

[Ivan]

Esa demostración está mal, estás haciendo razonamiento circular.

La definición del coseno del ángulo que forman [math]\vec{A} y [math]\vec{B} es [math]\cos \measuredangle (\vec{A},\vec{B}) := \frac{\vec{A}\cdot \vec{B} }{||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}||}.

Hay que demostrar que [math]-1\leq \cos \measuredangle (\vec{A},\vec{B})\leq 1, este no es un hecho obvio, ya que esa función no es el coseno que conocemos y en principio no sabemos cual es la imagen.

La demostración de que está en [math][-1,1] es precisamente Cauchy-Schwarz.

[Vladislao]

No, la demostración de que el coseno está acotado no es complicada, y la podés hacer sin CS. Pensé que era muy conocida por eso no la puse... Se la puede hacer usando la proyección escalar de un vector sobre otro. (De hecho se puede demostrar CS usando esto también).

PD: No creo que esté mal, porque algunos libros (o bases de datos como Wolfram) demuestran C-S exactamente como puse arriba; mientras que otros lo hacen al revés..

[Matías V5]

Para mí Iván tiene razón. Cuando estás en [math]\mathbb{R}^n (o más en general en cualquier espacio vectorial con producto interno) la definición de ángulo entre dos vectores es el [math]\alpha tal que [math]\cos(\alpha) = \frac{A \cdot B}{||A||\cdot ||B||}. Para poder hacer esta definición uno primero tiene que demostrar Cauchy-Schwarz, si no podría ser que no exista un tal [math]\alpha.
En principio este ángulo no tiene nada que ver con la idea geométrica que uno puede tener para [math]\mathbb{R}^2 o [math]\mathbb{R}^3 (obviamente después uno puede probar que las nociones coinciden).

[Ivan]

Claro, [math]\vec{A}\cdot \vec{B} = ||\vec{A}||\cdot ||\vec{B}|| \cos \measuredangle (\vec{A},\vec{B}) es algo que uno demuestra para vectores en el plano (no es una cosa obvia). Fijate si podés demostrarlo en [math]\mathbb{R}^n (en principio uno ni sabe que significa el ángulo entre los vectores, pero aún definiendo el ángulo de alguna forma habría que probar que vale esa identidad.)

[Nacho]

Otra demostracion:

Spoiler: mostrar

Esta demostracion me gusta porque tiene en cuenta los casos de igualdad. El caso de igualdad se da si y solo si [math]\dfrac{a_i}{b_i} son todos iguales. Eso es lo mismo que [math]\dfrac{a_i}{b_i} = \dfrac{a_j}{b_j}, es decir, [math]a_ib_j - a_jb_i = 0. Consideremos entonces la suma [math]\displaystyle\sum (a_ib_j - a_jb_i)^2 \geq 0. Es claro que la igualdad se da si y solo si cada uno de los terminos que estan al cuadrado son todos cero. Si desarrollamos eso, tenemos [math]\displaystyle\sum (a_ib_j)^2 + (a_jb_i)^2 - 2a_ia_jb_ib_j \geq 0.

Reacomodando esto: [math]2 \displaystyle\sum (a_ib_j)^2 \geq 2\displaystyle\sum a_ia_jb_ib_j

Notemos que el RHS es la expansion de [math]\left(\displaystyle\sum a_ib_i \right)^2. Por otra parte, el LHS es la expansion de [math]\left( \displaystyle\sum a_i^2 \right) \left( \displaystyle\sum b_i^2 \right).

La desigualdad sigue. [math]\blacksquare

[Squee]

Nah, la demostración de que el coseno está acotado no es tan complicada, y la podés hacer sin CS. Pensé que era muy conocida por eso no la puse... Se la puede hacer usando la proyección escalar de un vector sobre otro. (De hecho se puede demostrar CS usando esto también).

PD: No creo que esté mal, porque algunos libros (o bases de datos como Wolfram) demuestran C-S exactamente como puse arriba; mientras que otros lo hacen al revés..

Lo que a veces alguno se olvida, es de que hay cosas que se pueden demostrar para un lado definiendo desde otro, o viceversa, entonces si vos arrancas a construirlo de una forma que arranque del otro lado pareciese que usas razonamiento circular, pero para realmente estar seguro habria que conocer de adonde arranco la persona.

[Alejo]

La prueba de que [math]cos(AOB) \leq 1, donde O es el origen y A y B son puntos distintos a O:
Sea [math]\pi un plano que contiene a A, O y B. Tomemos una base ortonormal de R^n [math]\{ e_{1},e_{2},...,e_{n} \} tal que [math]e_1 y [math]e_2 generan el plano [math]\pi. Como A y B pertencen a [math]\pi:
[math]\overrightarrow{OA}=ae_{1}+be_{2}
[math]\overrightarrow{OB}=ce_{1}+de_{2}
Entonces
[math]\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=ace_{1}e_{1}+(ad+bc)e_{1}e_{2}+bde_{2}e_{2}=ac+bd
[math]\left \| OA \right \|= \sqrt{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OA}}= \sqrt{a^{2}+b^{2}}
[math]\left \| OB \right \|= \sqrt{\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OB}}= \sqrt{c^{2}+d^{2}}
La ecuación a probar es equivalente a
[math]\frac{ac+bd}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}} \leq 1
que es Cauchy para n=2.
[math](ac+bd)^{2} \leq (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})
[math]2abcd \leq (ad)^{2}+(bc)^{2}
[math]0 \leq (ad-bc)^{2}
Que se cumple.
Hay igualdad sii ad=bc, sii OA y OB son paralelos, sii b_i=ka_i, para todo i.