CIMA 2022 - P2

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MateoCV

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CIMA 2022 - P2

Mensaje sin leer por MateoCV »

Sea $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ una función continuamente diferenciable tal que su matriz Jacobiana es una matriz escalar, es decir, de la forma $\varphi(x)\text{Id}_n$ para una función $\varphi :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ y donde $\text{Id}_n$ denota la matriz identidad $n\times n$. Demostrar que $\varphi$ es una función constante.
$2^{82589933}-1$ es primo
EmRuzak

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Re: CIMA 2022 - P2

Mensaje sin leer por EmRuzak »

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$J_f(v)=\varphi(v)Id_n$
Si $\varphi$ no es constante, hay $v$ en $\mathbb{R}^n$, $i$ entre $1$ y $n$ tal que $\frac{\partial \varphi(v)}{\partial v_i}\neq 0$, (ya que $\varphi$ es continuamente diferenciable y de lo contrario sería constante)

Para todo $j\neq i$ entre $1$ y $n$, como $\frac{\partial F_j}{\partial v_i}=0$, $\frac{\partial^2 F_j}{\partial v_iv_j}=0$
por simetría de la segunda derivada:
$\frac{\partial^2 F_j}{\partial v_iv_j}=\frac{\partial \varphi(v)}{\partial v_i}\neq 0$ contradicción.
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