Regional 2022 N1 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Regional 2022 N1 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

El heptágono $ABCDEFG$, de lados $AB = BC = CD = DE = EF = FG = GA = 2$, tiene $D\widehat{E}F = 120^{\circ}$, $G\widehat{A}B = A\widehat{B}C = C\widehat{D}E = E\widehat{F}G$ y $B\widehat{C}D = F\widehat{G}A = 90^{\circ}$. Además, hay un punto $P$ en el interior del heptágono tal que $PA = PB = PD = PE = PF = 2$. Calcular el área del heptágono.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
FedeG
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Re: Regional 2022 N1 P3

Mensaje sin leer por FedeG »

Redondeando a 2 decimales obtuve como resultado:
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13,19
mbattioli
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Re: Regional 2022 N1 P3

Mensaje sin leer por mbattioli »

me dio igual .
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dividi el heptagono en tres triangulos equilateros de 2 de lado y dos cuadrados de 2 de lado. El area de los triangulos dio (raiz DE 3)
√ 3 y el area de los cuadrados 4 . o sea que el total es 2x4 + 3 x √ 3 = 13.1961524
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marcoalonzo

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Re: Regional 2022 N1 P3

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

Corregir si hay algún error :lol:
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Primero que todo notemos que los triángulos $\overset{\bigtriangleup}{ABP}, \overset{\bigtriangleup}{DEP}, \overset{\bigtriangleup}{EFP}$ son equiláteros (también congruentes pero esto no influye directamente en la resolución) porque tienen todos sus lados congruentes (pues por dato sabemos que todos los lados del heptágono son congruentes y que en particular los lados restantes de los triángulos miden lo mismo que los lados del heptágono) entonces, como en todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes, cada ángulo interior a estos triángulos mide $60°$. También nos es útil saber a qué es igual la suma de los ángulos interiores del heptágono, cosa que la podemos resolver aplicando la fórmula $180°\times (7-2)=900°$; sabiendo esto, y que por el enunciado hay dos ángulos de $90°$, otro de $120°$ y los restantes (cuatro ángulos) son congruentes, podemos plantear lo siguiente:
$$900°-2\times90°-120°=600°\Longrightarrow \frac{600°}{4}=150°=\hat{GAB}=\hat{ABC}=\hat{CDE}=\hat{EFG}$$
Con esta información llegamos a que:
$$\hat{GAP}=150°-60°=90°$$
$$\hat{GFP}=150°-60°=90°$$
$$\hat{CDP}=150°-60°=90°$$
$$\hat{CBP}=150°-60°=90°$$
Notar que los cuadriláteros $CBPD, AGFP$ son cuadrados, pues tienen tres ángulos rectos (en cada uno hay un recto dado de dato y los otros dos los acabamos de demostrar), entonces por diferencia de ángulos interiores, nos queda que el ángulo restante en cada uno necesariamente debe ser recto. Finalmente, nos queda obtener las superficies de los dos cuadrados determinados ($2\times2^{2}=4$) y la de los triángulos (que se pueden obtener haciendo Pitágoras y usando la fórmula "normal", fórmula de Herón, etc); lo importante es que la superficie de cada triángulo es $\sqrt{3}$, por lo tanto la superficie del heptágono va a ser $S_{T}=2\times 4 + 3\times \sqrt{3}=8 + 3\times \sqrt{3}$
🔮oráculo y magia negra🔮
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