Regional 2022 N1 P1

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Matías V5

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Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Determinar todos los números de cinco dígitos $abcde$, divisibles por $9$ y tales que $ace - bda = 760$, donde $ace$ y $bda$ son dos números de tres dígitos cada uno.
Nota. Los dígitos de $abcde$ no son necesariamente distintos.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Lxng Trxp Tx Hxll
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por Lxng Trxp Tx Hxll »

alguien confia en su resultado? si es asi, cual seria?
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El GranGero
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por El GranGero »

A mi me dieron 2 nros:
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81828 y 91269
1  
:twisted:
Lxng Trxp Tx Hxll
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por Lxng Trxp Tx Hxll »

bien ahi, tenes el procedimiento? ami me costo muchisimo, compartilo porfa
mbattioli
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por mbattioli »

solo llegue a una de las dos respuestas, saben en ese caso si ponen 1-, o si solo puse una no me dan puntos?
Frannn
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por Frannn »

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Rta: 81828 y 91269
Procedimiento: Un numero de cinco digitos abcde el cual sea divisible por 9 y tales que ace-bda= 760,ace y bda son de tres digitos, y los digitos abcde pueden ser iguales.
si la resta de a-e debes ser 0 entonces a=e. Si a-b=7 y a no puede ser de 10 digitos entonces 10>a≥7>b≥0. Y la resta c-b=6 que podria ser 6-0,7-1,8-2,9-3,0-4,1-5,2-6,3-7,4-8,5-9( si c<d es por que pides prestado uno a "a" en la resta).Ya con esos datos tenes que 10>a≥7>b≥0,c=1—9,d=0—9,a=e=7—9,b=1—3.Tambien el numero debia ser divisible por nueve entonces la suma de sus digitos deberia ser nueve o multiplo(Ejemplo: a+b+c+d+e=27).Entonces armamos posibilidades:
a b c d e
9+2+6+0+9=26. no se puede
9+2+7+1+9=28. no se puede
9+2+8+2+9=30.Tampoco se puede pero descubrimos un patron asi que sabemos que no se va a llegar a un multiplo de nueve entonces intentamos que se
le reste uno a 9 siendo que c sea menor a d, ASI:
9+1+0+4+9=23. no se puede
9+1+1+5+9=25. no se puede
9+1+2+6+9=27. 2+7=9, si se puede entonces 91269 es un numero valido. Si siguieramos nos dariamos cuenta que no se llegaria a otro numero con a=9 por que se va sumando la suma de los digitos de dos en dos. Entonces probamos con a=8
a b c d e
8+1+6+0+8=23. no se puede
8+1+7+1+8=25. no se puede
8+1+8+2+8=27. 2+7=9, si se puede entonces 81828 es un numero valido. Al igual que antes si siguieramos no podriamos encontrar otro numero con a=8 y nos damos cuenta con que se va sumando de dos en dos. Entonces probamos con la ultima posibilidad a=7
a b c d e
7+0+6+0+7=20. no se puede in podra con a=7 ya que va sumando de dos en dos con numeros pares y "c" no puede ser menor a "d" ya que si en la resta
"a" le da una decena a "c" quedaria mal la resta con 6(a)-0(b)=6≠7.
Noslen
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por Noslen »

Alguito más algebraico
Spoiler: mostrar
Comencemos notando que la suma de dígitos de $abcde$ que es $a+b+c+d+e$ puede ser cómo máximo $9+9+9+9+9=45$, es decir que si $9\mid abcde$ entonces $a+b+c+d+e$ puede ser 9, 18, 27, 36 y 45.
Usando la condición de que $ace-bda=760$ se puede llegar a que $a=e$, Caso 1 : $a=b+7$ y $c=d+6$ y Caso 2 : $a=b+8$ y $d=c+4$(la demostración está al final).
Caso 1
De esta manera, reemplazando en la suma de dígitos
$$ a+b+c+d+e= (b+7)+b+(d+6)+d+(b+7)=3b+2d+20$$ y como $9\mid 3b+2d+20$ ya podemos eliminar los casos del 9 y 18 ya que $3b+2d+20\geq 20$. Analizando el caso del 45, debemos pedir que $b=d=9$ pero entonces $a=16$ y $c=15$ y esto no puede pasar ya que $a$ y $c$ son dígitos. Entonces nos quedan el caso :
  • $3b+2d+20 = 27$ donde $3b+2d=7$ y el único valor posible es $b=1$ y $d=2$. Por lo tanto, $a=8$ y $c=8$.
  • $3b+2d+20 = 36$ se tiene que $3b+2d=16$ y los valores posibles son $b=2$ y $d=5$ de donde $a=9$ y $c=11$ (no es solución). Por, ultimo el otro valor posible es $b=4$ y $d=2$. Por lo tanto, $a=11$ y $c=8$ tampoco es solución.
Caso 2 Como
$$ a+b+c+d+e= (b+8)+b+c+(c+4)+(b+8)=3b+2c+20$$ análogamente podemos eliminar los casos del 9, 18 y del 45. Entonces nos quedan el caso :
  • $3b+2c+20 = 27$ donde $3b+2c=7$ y el único valor posible es $b=1$ y $c=2$. Por lo tanto, $a=9$ y $d=6$.
  • $3b+2c+20 = 36$ tampoco hay soluciones,
Las únicas soluciones son $81828$ y $91269$.
Spoiler: mostrar
En efecto, notemos que $ace=100a+ 10c+e=10.(10a+c)+e$ y análogo, $bda=100b+10d+a$. Entonces, si $ace-bda=100(a-b)+10(c-d)+(e-a)=700+60+0$ debe pasar que $e-a=100(7-a+b)+10(6-c+d)=10.[10(7-a+b)+(6-c+d)]$ y esto equivale a decir que $e-a$ es múltiplo de 10, que usando el hecho que son digitos, solo puede ocurrir que $a=e$.
Además, si observamos que $10.[10(7-a+b)+(6-c+d)]=0$ entonces $10(7-a+b)+(6-c+d)=0$ o equivalentemente
$$ 10(7-a+b)=c-d-6$$ De acá sale el hecho que como $a,b,c$ y $d$ son dígitos, donde puede ocurrir que $7-a+b=0$ y $c-d-6=0$ ó $7-a+b=-1$ y $c-d-6=-10$.
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fran :)

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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por fran :) »

Spoiler: mostrar

Un numero es multiplo de 9 si la suma de sus digitos es multiplo de 9

$10000a + 1000b + 100c + 10d + e \overset{9}{\equiv} 0$
$a + b + c + d + e \overset{9}{\equiv} 0$

Este dato lo vamos a usar mas adelante.

$ace - bda = 760$

Observo esta resta como si la estuviese haciendo con papel y lapiz

Código: Seleccionar todo

a c e - 
b d a
_____
7 6 0
$e - a$ termina el 0. Como $e \leq 9$ y $a \geq 0$, $a = e$ (porque $e - a$ no puede dar 10, ni 20, ni nada asi porque $e < 10$ y $a$ es positivo)

Entonces tambien se que:

Código: Seleccionar todo

a c - 
b d
___
7 6
Para c - d hay dos opciones:
  • $c \geq d$, entonces la resta se puede realizar sin pedir nada prestado a $a$ , entonces $a - b = 7$ y $c - d = 6$
  • $c < d$ y se le pide un $1$ prestado al $a$, entonces $(a - 1) - b = 7$ y $(c + 10) - d = 6$
Primer caso: $c \geq d$
$a - b = 7$
$a = b + 7$
$a = e = b + 7$, entonces $b < 3$ porque $a < 10$

$c - d = 6$
$c = d + 6$, entonces $d < 4$ porque $c < 10$

$a + b + c + d + e \overset{9}{\equiv} 0$. Reemplazo:
$(b + 7) + b + (d + 6) + d + (b + 7) \overset{9}{\equiv} 0$
$20 + 3b + 2d \overset{9}{\equiv} 0$
$2d\overset{9}{\equiv} -20 - 3b$
$2d\overset{9}{\equiv} 7 - 3b$
$d\overset{9}{\equiv} (7 - 3b)/2$ (creo que se puede porque 2 es coprimo con 9)

Pruebo con los valores de B posibles
$b = 0 \to d = (7 - 0) / 2 = 3.5$ que no se puede porque D es entero
$b = 1 \to d = (7 - 3) / 2 = 2$ que si se puede. Resolviendo queda a = e = 8, c = 2 + 6 = 8. Entonces el numero que queda es 81828
$b = 2 \to d = (7 - 6) / 2 = 0.5$ que no se puede porque D es entero

Segundo caso: $c < d$
$(a - 1) - b = 7$
$a = b + 8$
$a = e = b + 8$, entonces $b < 2$ porque $a < 10$

$(10 + c) - d = 6$
$c - d = -4$
$-d = -c - 4$
$d = c + 4$ entonces $c < 6$ porque $d < 10$

$a + b + c + d + e \overset{9}{\equiv} 0$. Reemplazo:
$(b + 8) + b + c + (c + 4) + (b + 8) \overset{9}{\equiv} 0$
$20 + 3b + 2c \overset{9}{\equiv} 0$
$3b + 2c \overset{9}{\equiv} 7$
$2c \overset{9}{\equiv} 7 - 3b$
$c \overset{9}{\equiv} (7 - 3b)/2$

Pruebo con los valores de B posibles
$b = 0 \to c = (7 - 0) / 2 = 3.5$ que no se puede porque D es entero
$b = 1 \to c = (7 - 3) / 2 = 2$ que si se puede. Resolviendo queda a = e = 9, d = 6. Entonces el numero que queda es 91269

Rta: 81828 y 91269
(me habia olvidado del spoiler)
$$\phantom{[muajajacaracteresinfinitos=}\begin{matrix}(λx.F\;a)&→&x=a;F\\(\{x_0\;x_1\}\;a)&→&\{a_0\;a_1\}=a;\{(x_0\;a_0)\;(x_1\;a_1)\}\\\{a_0\;a_1\}=\{b_0\;b_1\}&→&a_0=b_0;a_1=b_1\\\{a_0\;a_1\}=λx.F&→&x=\{x_0\;x_1\};\{f_0\;f_1\}=F;a_0=λx_0.f_0;a_1=λx_1.f_1\end{matrix}\phantom{]}$$
Isi11
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por Isi11 »

A mi tambien me dieron 2 numeros
B.Caro_AnRi
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Re: Regional 2022 N1 P1

Mensaje sin leer por B.Caro_AnRi »

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Muy bien, primero que nada =
- Si ace - bda = 760, ace > 760, por lo tanto: a ≥ 7. Esto nos deja a 7, 8 y 9 como posibilidades para a.
- Si e-a= 0, e=a (por lo tanto, ABCDE empezará y terminará siempre en el mismo número).

Si a es 7:
- Ya tendremos que ace - bda es 7c7 - bd7. B debe de ser 0, ya que 7 - 0 = 7.
- Ahora ace - bda pasa a ser 7c7 - 0d7 = 760, por lo que c - d debe dar 6.
- Las posibilidades para que c - d = 6 son que c y d sean, respectivamente: 6 y 0, 7 y 1, 8 y 2 y 9 y 3.
Las combinaciones quedarían:
[*] 767 - 007 (ABCDE = 70607) [*] 777 - 017 (ABCDE = 70717) [*] 787 - 027 (ABCDE = 70827) [*] 797 - 037 (ABCDE = 70937)
Importante: en realidad, estos números ya se pueden sacar de opciones ya que al b ser 0 bda sería un número de dos cifras (decenas), sin embargo lo dejaré ya que se repite el mismo proceso para sacar las opciones con a = 8 y a = 9, y ayuda a demostrar porque opciones como 808 - 048 (80048) no cumplen con la regla.

Si a es 8:
Acá ocurre algo parecido:
- Ya tendremos que ace - bda es 8c8 - bd8. B debe de ser 1, ya que 8 - 1 = 7.
- Ahora ace - bda pasa a ser 8c8 - 1d8 = 760, por lo que c - d debe dar 6.
- Las posibilidades para que c - d = 6 son las mismas antes mencionadas.
Las combinaciones (excluyendo aquellas en que b = 0) quedarían:
[*] 868 - 108 (ABCDE = 81608) [*] 878 - 118 (ABCDE = 81718) [*] 888 - 128 (ABCDE = 81828) [*] 898 - 138 (ABCDE = 81938)

Si a es 9:
Se sigue el mismo proceso, sólo que ahora b es 2, porque 9 - 2 = 7.
Las combinaciones quedarían:
[*] 969 - 209 (ABCDE = 92609) [*] 979 - 219 (ABCDE = 92719) [*] 989 - 229 (ABCDE = 92829) [*] 999 - 239 (ABCDE = 92939)

Pero, a diferencia de lo que ocurre con el 700, al que no se le pueden restar centenas, y el 800, al que se le tiene que sacar unos 100 obligatoriamente (ya que sino bda queda en decenas, y no cuenta, como en a = 7), al 900 se le pueden sacar 100 (900 - 760 = 140) y 200 (999 - 760 = 239), por lo que a las opciones anteriores se les suma cualquier valor en el que 9c - 1d = 76. Además, c debe ser menor que d (para que al hacer la resta, el c "le pida prestado" uno al 9, y este quede en 8).
Se agregan las combinaciones:
[*] 909 - 149 (ABCDE = 91049) [*] 919 - 159 (ABCDE = 91159) [*] 929 - 169 (ABCDE = 91269) [*] 939 - 179 (ABCDE = 91379) [*] 949 - 189 (ABCDE = 91489) [*] 959 - 199 (ABCDE = 91599)

La lista de los valores posibles para ABCDE si ace - bda = 760, y tanto ace como bda son números de tres cifras, es :
81608 - 81718 - 81828 - 81938 - 92609 - 92719 - 92829 - 92939 - 91049 - 91159 - 91269 - 91379 - 91489 - 91599

De estos números, los únicos que son divisible por 9 son: 81828 y 91269


Estuve como una hora escribiendo pero espero que se entienda bien... si leyeron todo, mis respetos.
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