Zonal 2022 - N1 P1

[Gianni De Rico]

Los dígitos $a,b,c,d$, distintos entre sí, son tales que la siguiente cuenta de multiplicar es correcta.\begin{array}{ccccc}
& a & b & c & d \\
\times & & & & 9 \\
\hline
& d & c & b & a
\end{array}Hallar los valores de los dígitos $a,b,c,d$.

[Pontes]

A mí me dio que:

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a=1
b=0
c=8
d=9

[Lxng Trxp Tx Hxll]

ami tambien

[Pontes]

ami tambien

che y cuánto t dio el segundo?

[Lxng Trxp Tx Hxll]

45 y de ahi no acuerdo

[Fedex]

Una solución:

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El problema nos dice que $9 \cdot \overline{abcd} = \overline{dcba}$.
Donde $a$, $b$, $c$, $d$ son dígitos.
(La barra esa significa que los concatenamos, es decir, los ponemos uno al lado del otro. Si en cambio escribiera $abcd$ podría ser ambiguo ya que podría tratarse de su producto)

En primer lugar, notemos que si en vez de multiplicar por $9$ lo hiciéramos por $10$, el número que nos queda se pasaría de $4$ cifras, esto puede hacernos pensar que nuestro número de la derecha queda muy cerca de las $5$ cifras. Con lo que podríamos empezar encarándolo con un argumento de tamaños, haciendo pocas cuentas.

Si ocurriera que $a \geq 2$ entonces $\overline{abcd} \geq 2000$ por lo que:
$$\overline{dcba} = 9 \cdot \overline{abcd} \geq 9 \cdot 2000 = 18000$$
Que no tiene sentido, ya que $\overline{dcba}$ es un número de $4$ cifras.
Entonces la única posibilidad es $a=1$.
Notemos que $\overline{abcd} \geq 1000$ y podemos decir:
$$\overline{dcba} = 9 \cdot \overline{abcd} \geq 9 \cdot 1000 = 9000$$
De donde concluimos que $d = 9$.
Ahora, $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d = 10^3 a + 10^2b + 10^1c + 10^0 d$.
Esto se llama descomposición polinómica en base $10$ y vale en general para un número con cualquier cantidad de dígitos. (Por ejemplo, si $35781 = 30000 + 5000 + 700 + 80 + 1 = 10^4 \cdot 3 + 10^3 \cdot 5 + 10^2 \cdot 7 + 10^1 \cdot 8 + 10^0 \cdot 1$)
Tenemos entonces que:
$9 (1000a + 100b + 10c + d) = 1000d + 100c + 10b + a$
$8999a + 890b - 10c - 991d = 0$
Reemplazamos lo que obtuvimos, que $a=1$ y $d=9$.
$890b - 10c + 80 = 0$
$89b - c + 8 = \frac{0}{10} = 0$
$89b = c-8$
Como $0 \leq c \leq 9$ entonces $-8 \leq c-8 \leq 1$ pero $c-8$ es un múltiplo de $89$, el único que satisface tal entre esos números es $c-8 = 0$ de donde tenemos que:
$c = 8$ y $b=0$

Finalmente nuestra respuesta es:
$$(a, b, c, d) = (1, 0, 8, 9)$$

[Lxng Trxp Tx Hxll]

xd