En un tablero de $7 \times 7$ algunas casillas están pintadas de rojo. Sea $a$ la cantidad de filas que tienen un número impar de casillas rojas y sea $b$ la cantidad de columnas que tienen un número impar de casillas rojas. Determinar todos los posibles valores de $a+b$.
Para cada valor hallado, dar un ejemplo de cómo puede estar pintado el tablero.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Lo importante de notar de este (lindo según mi opinión) problema, es que al cambiar una celda de color, la cantidad de casillas rojas de la fila en la que está cambia la pariedad (suma o resta $1$), y lo mismo ocurre con la columna en la que está esa casilla. Por lo que al hacer un cambio, cualquiera sea, el valor de $a + b$ mantiene su pariedad (o bien aumenta en $2$, o bien disminuye en $2$, o bien se mantiene.
Si todas las casillas quedaran sin pintar, $a = 0, b = 0, a + b = 0$. Por lo que $a+b$ siempre será par (interesante que ocurre en cualquier tablero, sin importar las dimensiones).
Ahora, podemos obtener configuraciones en donde $a + b$ nos de cualquier valor par entre $0$ y $7 + 7 = 14$ (todo el tablero pintado) ?
La respuesta es sí. Vayamos pintando de a una casilla de la diagonal principal. Pintando la primera, $a=1, b=1, a+b=2$. Pintando la segunda, $a=2, b=2, a+b=4$. Y así, como nos movemos a filas y columnas vacías en cada movimiento, $a$ y $b$ aumentan siempre en $1$. Por lo que así seguieremos aumentando $a$ y $b$ en $1$, hasta llegar a pintar toda la diagonal, en donde $a=7, b=7, a+b=14$. Como $a, b \leq 7$, $a + b \leq 14$, y como dijimos que su suma debe ser par y vimos que podemos obtener todos los valores pares de $0$ a $14$ inclusive, estos son todos los posibles valores.
Lo primero que vamos a demostrar es que $a$ y $b$ tienen la misma paridad, esto lo haremos por el método del absurdo.
Supongamos $a$ es par y $b$ es impar. Luego hay $x$ filas con $y$ casillas pintadas ($x$ par y $y$ impar). Luego hay $2$ casos:
a) Si las $y$ casillas hay por lo menos $2k +1$ en una misma columna con $k$ mayor que $0$ nos quedan $y-2k-1$ para repartir o sea una cantidad par ya que $y$ impar. Entonces $b$ = $1$ + impar = par o sea absurdo porque habíamos empezado afirmando que $b$ era impar.
b) Si las $y$ se distribuyen de manera que no haya $2$ en una misma columna pasa que $a=b$ y esto también es un absurdo ya que no hay un numero que sea par e impar a la vez.
Lo mismo podemos hacer para demostrar que no puede pasar que $b$ par y $a$ impar
Entonces como contradicción pasa que $a$ es par, y $b$ es par o $a$ es impar y $b$ es impar y esto nos conduce a que $a+b$ debe ser estrictamente par. Luego podemos notar que si tomamos el caso favorable de que $a=b$ y notamos que $a$ varia entre $0$ y $7$ entonces $b$ también variara entre $0$ y $7$. Luego $a+b=2a$ y como dijimos que $a$ variaba los posibles valores son los números pares desde $a=0$, $a+b=0$ hasta $a=7$, $a+b=14$.
O sea los posibles valores de $a+b$ son los pares desde $0$ hasta $14$ y para hacer todas estas coloraciones vamos haciendo los pasos que cumple el absurdo $b)$ los cuales serian ir pintando la diagonal de uno a uno; Empezando desde no tener nada pintado hasta tener toda la diagonal pintada.✩