Intercolegial 2022 N1 P2

[Gianni De Rico]

Ana construye cuadrados con fósforos, completando cada día la figura del día anterior.

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Determinar cuántos fósforos deberá agregar al cuadrado del día $30$ para construir el cuadrado del día $31$.

[Ben raíz de 100]

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En el día $n$ la cantidad total de fósforos $C(n)$ es igual a $2.(n)(n+1)$. Entonces lo que queremos calcular es $C(31)-C(30)=1984-1860=124$.

[mora]

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Veamos que la cantidad de fósforos en las figuras son:
1er día: $4$ fósforos = $4.(1)$
2do día: $12$ fósforos = $4.(1+2)$
3er día: $24$ fósforos = $4.(1+2+3)$
Y si seguimos, en las siguientes figuras:
4to día: $40$ fósforos = $4.(1+2+3+4)$
5to día: $60$ fósforos = $4.(1+2+3+4+5)$

Por lo que la figura del día $30$ va a tener $4.(1 + 2 + ... + 30)$ fósforos, y la figura del día $31$ va a tener $4.( 1 + 2 + ... + 31)$ fósforos. Entonces los fósforos de la figura del día $31$ serán igual a los fósforos de la figura del día $30$ más $4.31$ fósforos, o sea: $4.(1 + 2 + ... + 30) + 4.31$.
Finalmente, como $4.31 = 124$, hay que agregar $124$ fósforos a la figura del día $30$ para obtener la figura del día $31$.