Problema 4: Cereza

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Mórtimer
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Problema 4: Cereza

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Sea $ABCD$ un cuadrilátero. El incírculo de $ABC$ es tangente a $AB$, $BC$, $CA$ en $P$, $Q$, $U$ respectivamente. El incírculo de $CDA$ es tangente a $CD$, $DA$, $AC$ en $R$, $S$, $V$ respectivamente.
a) Demostrar que si $U = V$, entonces $PQRS$ es cíclico.
b) Demostrar que si $PQRS$ es cíclico, entonces $U = V$.
A Mórtimer orando,
y con la cabeza dando. 🔮
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Mórtimer
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Re: Problema 4: Cereza

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Supongamos sin pérdida de generalidad que en la diagonal $AC$ los puntos yacen en el orden $A$, $U$, $V$, $C$ ($U$ y $V$ pueden coincidir).
Como $BP$ y $BQ$ son tangentes comunes al incírculo de $ABC$, vale que $BP=BQ$. Luego $BPQ$ es isósceles y entonces $B\hat{P}Q=B\hat{Q}P=\beta$ donde $\beta=\frac{180^{\circ}-\hat{B}}{2}$. Análogamente, $D\hat{R}S=D\hat{S}R=\delta$ donde $\delta=\frac{180^{\circ}-\hat{D}}{2}$.
Ahora, como $AU$ y $AP$ son tangentes comunes, vale que $AP=AU$. Similarmente, $AV=AS$. Como $U$ está entre $A$ y $V$ (o es $V$), vale que $AP=AU\le AV=AS$ y la igualdad se da si y solo si $U=V$. En consecuencia, en el triángulo $APS$ vale que $A\hat{S}P\le A\hat{P}S$, pues el primero subtiende un lado menor al segundo ($AP\le AS$). Pero como $A\hat{S}P+A\hat{P}S=180^{\circ}-\hat{A}$, se deduce que $A\hat{S}P\le \alpha\le A\hat{P}S$ donde $\alpha=\frac{180^{\circ}-\hat{A}}{2}$, o equivalentemente, el promedio de los dos ángulos. Notar que en todos los $\le$, la igualdad se da si y solo si $AP=AS$, que a su vez es equivalente a $U=V$.
Análogamente y usando que $CU\ge CV$, se prueba que $C\hat{Q}R\le\gamma\le C\hat{R}Q$ donde $\gamma=\frac{180^{\circ}-\hat{C}}{2}$ y la igualdad se da si y solo si $U=V$.
Ahora bien, notemos que
$$P\hat{Q}R+R\hat{S}P=180^{\circ}-B\hat{Q}P-C\hat{Q}R+180^{\circ}-D\hat{S}R-A\hat{S}R\ge 360^{\circ}-\alpha-\beta-\gamma-\delta$$
con igualdad si y solo si $U=V$.
Ahora bien, vale que $\alpha+\beta+\gamma+\delta=\frac{180^{\circ}-\hat{A}}{2}+\frac{180^{\circ}-\hat{B}}{2}+\frac{180^{\circ}-\hat{C}}{2}+\frac{180^{\circ}-\hat{D}}{2}=\frac{720^{\circ}-360^{\circ}}{2}=180^{\circ}$, luego obtuvimos que la suma de ángulos opuestos de $PQRS$ es al menos $180^{\circ}$.

Para la parte a), notemos que con $U=V$ se dan todas las igualdades, y en consecuencia los ángulos opuestos suman exactamente $180^{\circ}$, de donde vemos que $PQRS$ es cíclico.
Para la parte b), notemos que si $PQRS$ es cíclico, entonces la suma de ángulos opuestos es $180^{\circ}$ y entonces se deben dar las igualdades, de donde sabemos que se debe dar el caso de igualdad, que es $U=V$.

Esto conlcuye el problema.
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