ecuación funcional de Sincov

Juaco

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ecuación funcional de Sincov

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Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que $f(x,z) = f(x,y) + f(y,z)$ para $x,y,z \in \mathbb{R}$
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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enigma1234

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Re: ecuación funcional de Sincov

Mensaje sin leer por enigma1234 »

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Sea $P(x,y,z)$ la ecuación dada.
$$\text{$P(x,y,z)-P(0,y,z):$ } f(x,z)-f(0,z)=f(x,y)-f(0,y)\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$
$\to f(x,y)-f(0,y)$ es independiente de $y$. Sea $g(x)= f(x,y)-f(0,y)$ y definamos $h(y)=f(0,y)$.
Luego $f(x,y)=g(x)+h(y)$.
Reemplazando en $P(x,y,z)$:
$$g(x)+h(z)=g(x)+h(y)+g(y)+h(z)\to g(y)+h(y)=0 \forall y\in \mathbb{R}$$
$$\to f(x,y)=g(x)-g(y)\text{ para cierta funcion $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$}$$

Por lo tanto todas las soluciones son de la forma $\to f(x,y)=g(x)-g(y)$ para cualquier función $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que claramente satisfacen la ecuación.
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