Olimpíada mexicana de álgebra 2021 P8

[Juaco]

Los números reales $a, b, c$ son diferentes de $0$ y satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left \lbrace \begin{array}{c} a^2 + a = b^2 \\ b^2 + b = c^2 \\ c^2 + c = a^2\end{array}\right.$

Prueba que $(a-b)(b-c)(c-a) = 1$.

[Emerson Soriano]

Solución.

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Sumando miembro a miembro las ecuaciones dadas, tenemos que $a+b+c=0$. Por otro lado, las ecuaciones dadas son equivalentes a:
$$a=b^2-a^2=(b-a)(b+a),\hspace{0.5cm} b=c^2-b^2=(c-b)(c+b),\hspace{0.5cm} c=a^2-c^2=(a-c)(a+c).$$
Multiplicando miembro a miembro, tenemos que
$$abc=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b)(b+c)(c+a).$$
Como $a+b=-c$, $b+c=-a$ y $c+a=-b$, entonces $(a+b)(b+c)(c+a)=-abc$. Por lo tanto,
$$abc=(a-b)(b-c)(c-a)abc.$$
Puesto que los números $a$, $b$ y $c$ son distintos de cero, el producto $abc$ también lo es, en consecuencia, concluimos que $(a-b)(b-c)(c-a)=1$.