Olimpíada mexicana de álgebra 2021 P6

Juaco

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Olimpíada mexicana de álgebra 2021 P6

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Sea $A$ un conjunto finito de números reales y sean $A_1, A_2, ..., A_n$ subconjuntos no vacíos de $A$ tales que se satisfacen las siguientes condiciones:

$(a)$ la suma de los elementos de $A$ es $0$
$(b)$ siempre $x_i$ sea un elemento de $A_i$ para cada $1 \leq i \leq n$, se cumple que $x_1 + x_2 + \dots + x_n > 0$

Prueba que existe un entero positivo $k \leq n$ y que existen enteros positivos $1 \leq i_1 \leq i_2 \leq ... \leq i_k \leq n$ de tal forma que $\left| A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_k} \right| < \frac{k}{n}|A|$, donde $|X|$ denota la cantidad de elementos del conjunto $X$.
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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