Olimpíada mexicana de álgebra 2021 P2

[Juaco]

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales de grado $n>1$. Asume que la ecuación $P(P(P(x))) = P(x)$tiene exactamente $n^3$ soluciones reales diferentes. Pruebe que estas soluciones se pueden separar en dos conjuntos de forma que éstos tengan el mismo promedio.

[Emerson Soriano]

Solución.

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Sean $r_1$, $r_2$, ... , $r_{n^3}$ las raíces de la ecuación dada. Por dato del problema, estas $n^3$ raíces son distintas dos a dos. No es difícil deducir que si $r_i$ es raíz de la ecuación dada, entonces $P(r_i)$ también lo es.

Diremos que una de las $n^3$ raíces $r_i$ es buena si existe $r_j$ tal que $r_i=P(r_j)$, de lo contrario, diremos que dicha raíz es mala.

Notemos que la cantidad de raíces buenas, a la cual llamaremos $k$, es menor o igual que la cantidad de números distintos en la secuencia:
$$P(r_1),\: P(r_2),\: ... \:,\: P(r_{n^3}).$$
Como todos los $P(r_i)$ son raíces del polinomio $P(P(x))-x$, el cual tiene grado $n^2$, entonces $k\leq n^2$.

También sabemos que entre los números $P(r_1),\: P(r_2),\: ... \:,\: P(r_{n^3})$ no deben haber más de $n$ números iguales, pues $P$ tiene grado $n$, en consecuencia, $k\geq n^2$, luego, combinando con la desigualdad del párrafo anterior, concluimos que $k=n^2$. En síntesis, hay exactamente $n^2$ raíces buenas y $n^3-n^2$ raíces malas.

Sean $t_1$, $t_2$, ... , $t_{n^3-n^2}$ las raíces malas y sean $w_1$, $w_2$, ... , $w_{n^2}$ las raíces buenas. Ya que $P(t_i)\in \left\{ w_1, w_2, ... , w_{n^2} \right\}$, entonces por lo visto en los párrafos anteriores, cada $P(w_j)$ es igual a $P$ evaluado en exactamente $n-1$ raíces malas, luego, todas las raíces podemos dividirlas en $n^2$ grupos de $n$ raíces cada uno, los cuales contienen, cada uno, $n-1$ raíces malas y $1$ raíz buena.

Sean $A_1$, $A_2$, ... , $A_{n^2}$ los grupos mencionados. Elijamos uno de tales grupos, digamos $A_i$, el cual tiene como elementos, sin pérdida de generalidad, a los números $r_1$, $r_2$, ... , $r_{n-1}$ y $w_1$, entonces
$$P(r_1)=P(r_2)=\cdots =P(r_{n-1})=P(w_1)=\alpha.$$
Notemos que $r_1$, $r_2$, ... , $r_{n-1}$ y $w_1$ son raíces del polinomio $P(x)-\alpha$, luego, la suma de estos $n$ números es igual a $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$, donde $a_n$ es el coeficiente principal y $a_{n-1}$ es el coeficiente que acompaña a $x^{n-1}$. Este hecho se mantiene para los demás conjuntos, por lo tanto, concluimos que los $n^2$ conjuntos tienen la misma suma de elementos, a la cual llamaremos $S$.

El promedio de los elementos de $A_1$ es $\frac{S}{n}$, mientras que el promedio del conjunto $A_2\cup A_3\cup \cdots \cup A_{n^2}$ es igual a $\frac{S(n^2-1)}{n^3-n}=\frac{S}{n}$, donde es evidente que las $n^3$ raíces se pueden dividir en dos grupos con el mismo promedio.