Perú Selectivo Cono Sur 2017 Pregunta 6

GQSAMAEL
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Perú Selectivo Cono Sur 2017 Pregunta 6

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Sean $n$ y $\ell$ enteros positivos con $\ell>7$. Hay $n$ fichas en la casilla del extremo izquierdo de una fila (horizontal) de $\ell$ casillas. Una jugada consiste en mover cualquier ficha $1, 2, 3, 4, 5$ o $6$ posiciones hacia la derecha. Andrés y Beto realizan jugadas por turnos y Andrés empieza. El ganador es el que ubica una ficha en la casilla del extremo derecho. Determine quién tiene estrategia ganadora en función de $n$ y $\ell$.
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Kechi

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Re: Perú Selectivo Cono Sur 2017 Pregunta 6

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Primero voy a analizar el caso con $n=1$
Nombremos las casillas $C_1;C_2...;C_\ell$, de izquierda a derecha, de modo que para ganar un jugador debe poner una ficha en $C_\ell$. Siguiendo esto, el jugador que en su turno tenga una ficha en las casillas $C_{\ell-1}$, $C_{\ell-2}$, $C_{\ell-3}$, $C_{\ell-4}$, $C_{\ell-5}$ o $C_{\ell-6}$, podrá moverla $6$, $5$, $4$, $3$, $2$ o $1$ lugares respectivamente para ganar. Llamemos a estas casillas $\textit{ganadoras}$. El jugador que en su turno tenga la ficha en $C_{\ell-7}$ se verá obligado a moverla a cualquiera ganadora, por lo que el otro jugador ganará. Llamemos a esta casilla $\textit{perdedora}$. De esta forma, podemos definir las casillas ganadoras como todas las casillas que permiten al jugador en su turno mover la ficha a una casilla perdedora o ganar, y las casillas perdedoras como todas las casillas que obligan al jugador a mover la ficha a una casilla ganadora. Las casillas perdedoras son todas las $C_{\ell-7k}$ para cualquier $k$ natural, y las ganadoras son las demás.

Dejando de lado $n=1$, siempre que $\ell$ sea un múltiplo de $7$(,) más uno, $C_1$ será perdedora y Beto tendrá la estrategia ganadora: tiene que asegurarse de que en los turnos de Andrés todas las fichas estén en casillas perdedoras, moviendo la ficha que habrá movido Andrés en su turno anterior hacia la casilla perdedora más cercana, hasta llegar a las últimas $6$ casillas ganadoras, para lo que Beto mueve la ficha a la última casilla y gana. Esto aplica para cualquier valor de $n$.

Si $\ell$ no es un múltiplo de $7$, más uno, la situación dependerá del valor de $n$:
Si $n$ es par, Beto tiene que asociar cada ficha con otra, de a pares, de modo que cada vez que Andrés mueva un ficha, Beto moverá su ficha asociada al mismo lugar. De esta forma se asegura tener un movimiento disponible por cada uno que haga Andrés. Así hasta que Andrés mueva una ficha a cualquiera de las últimas $6$ ganadoras, momento en el que Beto mueve esa ficha a la última casilla y gana.
Si $n$ es impar, es Andrés quien tiene la estrategia ganadora: primero debe mover una ficha a una casilla perdedora, y a partir de ahí seguir la misma estrategia que Beto con las fichas restantes (agrupar las fichas de a pares y hacer que copien sus movimientos entre ellas) si Beto llegara a mover la primer ficha que movió Andrés, él solo tiene que reubicarla a una casilla perdedora. De esta forma Beto terminará ubicando una ficha en una de las últimas $6$ casillas ganadoras y Andrés la moverá a la última para ganar.
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
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