CIMA 2015 - P5

[Gianni De Rico]

Decimos que un número natural $N$ es bloque izquierdo de un número natural $M$ si las primeras cifras de la escritura en base $10$ de $M$ son exactamente las de $N$ y en el mismo orden, es decir, la escritura de $M$ comienza con la de $N$ y luego puede tener más cifras a su derecha. Por ejemplo, $1$ es bloque izquierdo de $144$ pero no de $414$, y todo número natural es bloque izquierdo de sí mismo. Una sucesión $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de números naturales se dice libre de bloques izquierdos si ningún $a_n$ es bloque izquierdo de $a_m$ para $m\neq n$.
Probar que si $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ es libre de bloques izquierdos, la serie $\displaystyle \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}$ converge.

[Turko Arias]

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Primero notemos que claramente la serie es mayor a $0$ y que la sucesión de sumas parciales es monótona creciente, luego solo resta demostrar que dicha sucesión está acotada.

Supongamos que algún término de $a_n$ vale $k$, es claro que entonces ningún término puede valer $10k$, $10k+1$, $10k+2$, $10k+3$, $10k+4$, $10k+5$, $10k+6$, $10k+7$, $10k+8$, $10k+9$. Por otro lado, notemos que:
$$\frac{1}{k}= 10 \times \frac{1}{10k} \geq \frac{1}{10k}+\frac{1}{10k+1}+...+\frac{1}{10k+9} (1)$$
Sea $b_n$ la subsucesión de $a_n$ formada por todos los números que tienen a $1$ como bloque izquierdo y que no son $1$.
Análogamente definimos las sucesiones $c_n$, $d_n$, $e_n$, $f_n$, $g_n$, $h_n$, $j_n$ y $k_n$ con los que tienen a $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ como bloque izquierdo respectivamente y tienen más de una cifra.
Iterando $(1)$ llegamos a que
$$\frac{1}{1} \geq \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...$$
$$\frac{1}{2} \geq \frac{1}{c_1}+\frac{1}{c_2}+...$$
$$\frac{1}{3} \geq \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+...$$
$$\frac{1}{4} \geq \frac{1}{e_1}+\frac{1}{e_2}+...$$
$$\frac{1}{5} \geq \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+...$$
$$\frac{1}{6} \geq \frac{1}{g_1}+\frac{1}{g_2}+...$$
$$\frac{1}{7} \geq \frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+...$$
$$\frac{1}{8} \geq \frac{1}{j_1}+\frac{1}{j_2}+...$$
$$\frac{1}{9} \geq \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+...$$

Pero entonces $0<\sum \limits _{n=1}^\infty \dfrac{1}{a_n} \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9} < \infty$ como queríamos demostrar $\blacksquare$