CIMA 2014 - P6

[Gianni De Rico]

$\text{(a)}$ Demostrar que si $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ es una función convexa y $C^2$ tal que $f(1),f(-1)\geq 0$, entonces$$\min \limits _{x\in [-1,1]}\{f(x)\}\geq -\int \limits _{-1}^1f''.$$$\text{(b)}$ Se $B\subset \mathbb{R}^2$ la bola cerrada de centro $0$ y radio $1$. Demostrar que si $f:B\to \mathbb{R}$ es una función convexa y $C^2$ tal que $f\geq 0$ en el borde de $B$, entonces$$f(0)\geq -\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left (\int _B\left (f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\right )\right )^{1/2}.$$Nota. El resultado del punto $\text{(b)}$ se extiende a $\mathbb{R}^n$ incluso poniendo $\min \limits _{p\in B}\{f(p)\}$ en lugar de $f(0)$.