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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales que obedece la siguiente recurrencia$$a_{n+1}=10^na_n^2.$$
  • $\text{(a)}$ Probar que si $a_1$ es suficientemente chico, entonces $\lim \limits _{n\to \infty}a_n=0$.
  • $\text{(b)}$ Hallar todos los valores posibles de $a_1\in \mathbb{R}$, $a_1\geq 0$, tales que $\lim \limits _{n\to \infty}a_n=0$.
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Gianni De Rico

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Re: CIMA 2014 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Probando casos chicos y después haciendo inducción sale que $a_n=10^{2^n-n-1}a_1^{2^{n-1}}$.
Notemos que $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(100a_1)^{2^{n-1}}}{10}$, con lo que$$0\leq \lim \limits _{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \limits _{n\to \infty}\frac{(100a_1)^{2^{n-1}}}{10}\leq \lim \limits _{n\to \infty}\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$$para $a_1\in \left [0,\frac{1}{100}\right ]$ y$$\lim \limits _{n\to \infty}\frac{\frac{1}{a_{n+1}}}{\frac{1}{a_n}}=\lim \limits _{n\to \infty}\frac{10}{(100a_1)^{2^{n-1}}}=0$$para $a_1>\frac{1}{100}$. Tenemos entonces que $\sum \limits _{n=1}^\infty a_n$ converge para $a_1\in \left [0,\frac{1}{100}\right ]$ y $\sum \limits _{n=1}^\infty \dfrac{1}{a_n}$ converge para $a_1>\frac{1}{100}$, por el Criterio de D'Alembert. Es decir que $\lim \limits _{n\to \infty}a_n=0$ para $a_1\in \left [0,\frac{1}{100}\right ]$ y $\lim \limits _{n\to \infty}a_n=\infty$ para $a_1>\frac{1}{100}$. Entonces $\lim \limits _{n\to \infty}a_n=0$ si y sólo si $a_1\in \left [0,\frac{1}{100}\right ]$, lo que resuelve ambas partes del problema.
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