Entrenamiento IMO 2021 - Problema 28

[Tomás Morcos Porras]

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Hallar el menor valor posible de$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$

[DiegoLedesma]

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*Aplicando distributiva en el lado izquierdo de la igualdad, tenemos: $ac+ad+bc+bd=ac+bd$
*Cancelando a ambos lados de la igualdad, se obtiene $ad+bc=0$, lo cual es absurdo, ya que $a$, $b$, $c$ y $d$ son reales positivos.

[Fedex]

La condición del problema es en realidad:
$$ (a+c)(b+d) =ac + bd$$

[Gianni De Rico]

No es mía

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Por AM-GM tenemos que\begin{align*}\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} &\geq 2\left (\sqrt{\frac{ac}{bd}}+\sqrt{\frac{bd}{ac}}\right ) \\
& =\frac{2(ac+bd)}{\sqrt{abcd}} \\
& =\frac{2(a+c)(b+d)}{\sqrt{abcd}} \\
& \geq 8
\end{align*}y se alcanza por ejemplo con $(a,b,c,d)=\left (1,2+\sqrt{3},1,2+\sqrt{3}\right )$.