Entrenamiento IMO 2021 - Problema 22

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Tomás Morcos Porras

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 22

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

Sean $A,B,C,D$ puntos que no están en un mismo plano y:$$AB=BD=CD=AC=\sqrt{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=a.$$Demostrar que:
a) Existe un punto en el segmento $BC$ que equidista de $A,B,C,D$.
b) El ángulo entre $AD$ y $BC$ es $\frac{3}{2}$ del ángulo entre los planos de los triángulos $ABC$ y $BCD$.
c) El cuadrado de la distancia de $A$ a $DC$ es $\frac{7}{6}$ del cuadrado de la distancia de $A$ al plano del $BCD$.
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Re: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 22

Mensaje sin leer por Juaco »

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para la parte $\text{a)}$ obviamente va a ser el punto medio de $BC$ y para ver que equidista de $A$ y $D$ solo hay que ver los triangulos formados por separado (o para decirlo de otra forma, las caras del tetraedro que forman $ABCD$

en la parte $\text{c)}$ no veo manera de evitar las cuentas, así que básicamente es (sin pérdida de generalidad: $AD=1)$) poner los puntos
$B=(\sqrt2; 0; 0)$, $C=(0; \sqrt2; 0)$, $D=(0; 0; 0)$ de donde $A=(\frac{1}{2\sqrt2}; \frac{1}{2\sqrt2}; \frac{\sqrt3}{2})$ y la distancia al plano es $\frac{\sqrt3}{2}$, después la distancia de $A$ a $DC$ es $\frac{\sqrt7}{8}$ y termina el problema

la otra parte ni idea, si alguien puede ayudarme con los ángulos en esta geometría le agradezco, porque ni idea de cómo manipular "el ángulo entre $AD$ y $BC$"
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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Fran5

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Re: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 22

Mensaje sin leer por Fran5 »

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WLOG podemos suponer $AB=BD=DC =CA = \sqrt{2}$ de modo que $BC = 2$ y $AD=1$.
b) Es inmediato que $AD$ y $BC$ son "ortogonales" (toda la figura es simétrica respecto del plano formado por $ADM$), de modo que bastaría ver que $\angle AMD = 60$, pero eso es directo pues $AD = 1 = MD=MA=MB=MC$

c) Sean $H,P$ son las proyecciones de $A$ en $CD$ y $BCD$ respectivamente.
Vemos que $AH^2 = AP^2 + PH^2$ por ser $P$ la proyección
Luego $AP^2+PD^2 = AD^2 = AH^2 + HD^2 = AP^2 + PH^2 + HD^2$ de donde $PH^2+HD^2 = PD^2$ y resulta $PH$ perpendicular a $HD$.

Como $AMD$ es equilátero, tenemos que $P$ es el punto medio de $DM$ y $AP = \frac{\sqrt{3}}{2}$. En particular $PHD$ es isósceles rectángulo
Además $PH^2 = \frac{1}{2} PD^2 = \frac{1}{8}$

Luego $\frac{PH^2}{AP^2} = \frac{ \frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{6}$, que es lo que queríamos ver.
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